• الصفحة الرئيسية
  • اثر تخلخل بر تغییر فرم غیر خطی نوک عملگرهای‌های پیزو الکتریک هدفمند

شارک

عنوان URL للمقالة


رقم المقالة : 140309191192998 زيارة : 18 الصفحة: -

نوع المخطوط: ابحاث

اثر تخلخل بر تغییر فرم غیر خطی نوک عملگرهای‌های پیزو الکتریک هدفمند

الموضوعات : فصلنامه علمی - پژوهشی مواد نوین

محمد غلامی 1 , Mansour Alizadeh 2

1 -
2 - School of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology (IUST), Tehran, Iran

تاريخ الإرسال : 08 الإثنين , جمادى الثانية, 1446 تاريخ التأكيد : 03 الأحد , شعبان, 1446 تاريخ الإصدار : 02 الأحد , رمضان, 1446

الکلمات المفتاحية: عملگر پیزوالکتریک هدفمند, روش المان محدود, پاسخ غیر خطی, تخلخل, فنیکس,

ملخص المقالة :

مقدمه: سازه های به شکل تیر خصوصاً عملگرهای با مود خمشی به دلیل سهولت ساخت و انعطاف در طراحی نسبت به سایر کاربردها رایج تر ی داشته و بیشتر مورد توجه محققین قرارگرفته است.

روش: در این مطالعه، رفتار غیر خطی هندسی عملگر‌های متخلخل پیزوالکتریک هدفمند سه‌بعدی تحت بارهای الکترومکانیکی مورد بررسی قرار گرفته‌است. ترم های غیر خطی فون - کارمن برای در نظر گرفتن تغییر شکل‌های غیر خطی هندسی در رابطه جابجایی- کرنش لحاظ شده‌اند.. معادلات حاکم و شرایط مرزی مربوطه با استفاده از اصل حساب تغییرات به دست آمده‌اند.  به منظور حل معادلات حاکمه غیر خطی، از روش تکراری نیوتن - رافسون و یک المان چهاروجهی ده گره ای و از طریق محیط کد نویسی پایتون در پلتفرم المان محدود منبع باز فنیکس FEniCS استفاده شده ‌است.

یافته­ها: اثرات شاخص‌های مختلف توانی، تخلخل ، نسبت‌ طول به ضخامت و اندازه بارهای اعمالی بر تغییر فرم نوک عملگر متخلخل پیزوالکتریک هدفمند مورد بررسی قرار گرفته‌است. حساسیت الگوهای مختلف توزیع تخلخل در راستای ضخامت بر تغییر فرم بدون بعد نوک عملگر بررسی شده‌است.

نتیجه­گیری:

توزیع تخلخل یکنواخت بیش‌ترین تأثیر و توزیع تخلخل مرکزی کم‌ترین تأثیر را می‌پذیرد. به‌علاوه، تغییرات در شاخص کسر حجمی در محدوده  0 تا 1 بیش‌ترین نرخ تغییر در جابجایی نوک عملگر را دارد. با مقایسه نتایج مشخص شد که تئوری خطی در مقایسه با تئوری غیر خطی، تغییر فرم‌ها را در مقادیر بارگذاری الکترومکانیکی قوی بیش از مقدار واقعی پیش‌بینی می‌کند. یافته‌های این مطالعه می‌تواند در طراحی و ساخت عملگر‌های متخلخل پیزوالکتریک هدفمند مورداستفاده قرار گیرد.

المصادر:

1. Biot MA. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid‐Saturated Porous Solid. I. Low‐Frequency Range. The Journal of the Acoustical Society of America. 1956 Mar;28(2):168–78. doi.org/10.1121/1.1908239
2. Selvadurai AP, editor. Mechanics of poroelastic media. Springer Science & Business Media; 2013 Mar 14.
3. Busse A, Schanz M, Antes H. A Poroelastic Mindlin‐Plate. InPAMM: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 2003 Dec (Vol. 3, No. 1, pp. 260-261). Berlin: WILEY‐VCH Verlag. doi.org/10.1002/pamm.200310402
4. Magnucki K, Stasiewicz P. Elastic bending of an isotropic porous beam. International Journal of Applied Mechanics and Engineering. 2004;9(2):351-60. ISSN : 1734-4492
5. Trinh MC, Kim SE. A three variable refined shear deformation theory for porous functionally graded doubly curved shell analysis. Aerospace Science and technology. 2019 Nov 1;94:105356. doi.org/10.1016/j.ast.2019.105356
6. Wang YQ, Zhao HL, Ye C, Zu JW. A porous microbeam model for bending and vibration analysis based on the sinusoidal beam theory and modified strain gradient theory. International Journal of Applied Mechanics. 2018 Jun 11;10(05):1850059. doi.org/10.1142/S175882511850059X
7. Babaei M, Asemi K, Safarpour P. Buckling and static analyses of functionally graded saturated porous thick beam resting on elastic foundation based on higher order beam theory. Iranian Journal of Mechanical Engineering Transactions of the ISME. 2019 Mar 1;20(1):94-112. 20.1001.1.16059727.2019.20.1.4.0
8. Phuong NT, Tu TM, Phuong HT, Van Long N. Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position. Journal of Science and Technology in Civil Engineering (JSTCE)-HUCE. 2019 Jan 31;13(1):33-45. doi.org/10.31814/stce.nuce2019-13(1)-04
9. Kiran MC, Kattimani SC, Vinyas M. Porosity influence on structural behaviour of skew functionally graded magneto-electro-elastic plate. Composite Structures. 2018 May 1;191:36-77. doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.02.023
10. Taghian Dehaghani M, Ahmadian M. Fracture mechanism of CoCrMo porous nano-composite prepared by powder metallurgy route. International Journal of Engineering. 2018 Jan 1;31(1):19-24. Doi.org/10.5829/ije.2018.31.01a.03
11. Sarparast Z, Abdoli R, Rahbari A, Varmazyar M, Reza Kashyzadeh K. Experimental and numerical analysis of permeability in porous media. International Journal of Engineering. 2020 Nov 1;33(11):2408-15. doi.org/10.5829/ije.2020.33.11b.31
12. Gupta A, Talha M. Influence of initial geometric imperfections and porosity on the stability of functionally graded material plates. Mechanics Based Design of Structures and Machines. 2018 Nov 2;46(6):693-711. doi.org/10.1080/15397734.2018.1449656
13. Wang QM, Zhang Q, Xu B, Liu R, Cross LE. Nonlinear piezoelectric behavior of ceramic bending mode actuators under strong electric fields. Journal of Applied Physics. 1999 Sep 15;86(6):3352-60. doi.org/10.1063/1.371213
14. Rezazadeh G, Khanchehgardan A, Shah-Mohammadi-Azar A, Shabani R. Mechanical response of a piezoelectrically sandwiched nano-beam based on the non-local theory. International Journal of Engineering. 2013 Dec 1;26(12):1515-24. doi.org/10.5829/idosi.ije.2013.26.12c.12
15. Nosier A, Rouhi M. Three-dimensional analysis of laminated cylindrical panels with piezoelectric layers.
16. Zhang Z, Fu G, Xu D. A Dynamic Model for Laminated Piezoelectric Microbeam. International Journal of Engineering. 2023 Jun 1;36(6):1143-9. doi.org/10.5829/ije.2023.36.06c.13
17. Dardel M, Khavvajia A, Akbari Alashti R, Pashaei MH. Large Deflection Analysis of Compliant Beams of Variable Thickness and Non-Homogenous Material under Combined Load and Multiple Boundary Conditions. International Journal of Engineering. 2012 Dec 1;25(4):353-62. doi.org/10.5829/idosi.ije.2013.25.04c.10
18. Fotros F, Pashaei MH, Alashti RA. Effects of geometric nonlinearity on stress analysis in large amplitude vibration of thin circular functionally graded plates with rigid core. doi.org/10.5829/idosi.ije.2011.24.03a.07
19. Hecht F. New development in FreeFem++. Journal of numerical mathematics. 2012 Dec;20(3-4):251-66. doi.org/10.1515/jnum-2012-0013
20. Rathgeber F, Ham DA, Mitchell L, Lange M, Luporini F, McRae AT, Bercea GT, Markall GR, Kelly PH. Firedrake: automating the finite element method by composing abstractions. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). 2016 Dec 21;43(3):1-27. doi.org/10.1145/2998441
21. Langtangen HP. A FEniCS tutorial. InAutomated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book 2012 Feb 4 (pp. 1-73). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISSN 1439-7358
22. Rodriguez MA, Augustin CM, Shadden SC. FEniCS mechanics: A package for continuum mechanics simulations. SoftwareX. 2019 Jan 1;9:107-11. doi.org/10.1016/j.softx.2018.10.005
23. Shekarchizadeh N, Bersani AM. Developing an automatized optimization problem in FEniCS for parameter determination of metamaterials. InProceedings of FEniCS 2021 2021 (pp. 660-679). doi.org/10.6084/m9.figshare.14495607
24. Phunpeng V, Baiz P. Mixed finite element formulations for strain-gradient elasticity problems using the FEniCS environment. Finite Elements in Analysis and Design. 2015 Apr 1;96:23-40. doi.org/10.1016/j.finel.2014.11.002
25. Reddy JN. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. CRC press; 2003 Nov 24. ISBN 9780429210693
26. Abali BE, Müller WH, Eremeyev VA. Strain gradient elasticity with geometric nonlinearities and its computational evaluation. Mechanics of Advanced Materials and Modern Processes. 2015 Dec;1:1-1. doi.org/10.1186/s40759-015-0004-3
27. Logg A, Mardal KA, Wells G, editors. Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. Springer Science & Business Media; 2012 Feb 24. doi.org/10.1007/978-3-642-23099-8
28. Arnold DN, Logg A. Periodic table of the finite elements. Siam News. 2014 Nov 3;47(9):212.
29. Alnæs M, Blechta J, Hake J, Johansson A, Kehlet B, Logg A, Richardson C, Ring J, Rognes ME, Wells GN. The FEniCS project version 1.5. Archive of numerical software. 2015 Dec 7;3(100).
30. Doroushi A, Eslami MR, Komeili A. Vibration analysis and transient response of an FGPM beam under thermo-electro-mechanical loads using higher-order shear deformation theory. Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2011 Feb;22(3):231-43. doi.org/10.1177/1045389X11398162
31. Pandey VB, Parashar SK. Static bending and dynamic analysis of functionally graded piezoelectric beam subjected to electromechanical loads. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2016 Dec;230(19):3457-69. doi.org/10.1177/0954406215596359
نص كامل:


Journal of New Materials                                                                         Summer 2024, Vol. 15 Issue 56.

 

Research Paper

Effect of Porosity on Nonlinear Tip Deflection of Functionally Graded Piezoelectric Actuators 

Mohammad Gholami1*, Mansour Alizadeh        2

1.       Ph.D. Student of Mechanical Engineering, School of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology, Tehran 16846, Iran.

2.       Associate prof., School of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology, Tehran 16846, Iran.

Received:

 

Revised:

 

Accepted:

 

 

Abstract

Introduction: Beam-shaped structures, especially bending-mode actuators, are more common and have attracted more attention from researchers due to flexibility in design and ease of fabrication.

Methods: In this study, the geometric nonlinear behavior of three-dimensional functionally graded piezoelectric porous actuators subjected to electro-mechanical loads is investigated using the finite element method. Nonlinear von-Karman terms are included in the strain– displacement relation to capture the geometric nonlinear deformations. The governing equations and related boundary conditions were derived using the variational principle. The Newton-Raphson iteration procedure is adopted to solve nonlinear governing equations using a 10-node tetrahedral element via the robust open-source finite element FEniCS platform that exploits Python scripts.

Findings: The effects of different power law and porosity indexes, length to thickness ratios, and magnitude of applied loads are investigated on the tip deflection of the functionally graded piezoelectric porous actuator. The sensitivity of different patterns of porosity distribution along the thickness direction is explored on the dimensionless tip deflection of the actuator.

Conclusion: The uniform porosity distribution has the greatest effect on actuator deformation, whereas the central porosity distribution has the least effect. In addition, variation in the volume fraction index in the range 0–1 leads to the highest rate of change in actuator tip deflection. By comparing the results of the linear and nonlinear theories, It has been found that the linear theory overestimates the deformations in the case of strong electromechanical loading. The findings of this research can be used to design and manufacture porous piezoelectric actuators.

 

Use your device to scan and read the article online

 

img0 

 

DOI:

 

Keywords:

Functionally graded piezoelectric actuator, Finite Element method, Nonlinear response, Porosity, FEniCS

Citation: Mohammad Gholami        , Mansour Alizadeh, Effect of Porosity on Nonlinear Tip Deflection of Functionally Graded Piezoelectric Actuators, Quarterly Journal of New Materials.

*Corresponding author: Mansour Alizadeh

Address: School of Mechanical Engineering, Iran University of Science and Technology, Tehran        

Tell: +989166328500

Email: ma_alizadeh@iust.ac.ir

 

 

 

Extended Abstract

Introduction

Functionally graded piezoelectric materials (FGPMs) have received more attention recently. They were developed to control the level of stress concentrations and enhance the overall lifetime in sensing and actuating modes. In piezoelectric materials, macroscopic strains induce electric polarization (direct or sensor effects) or applied electric voltage generates macroscopic strains (inverse or actuator effects). This feature makes it an ideal candidate for a variety of applications ranging from sensors[1] and actuators[2] to energy harvesting[3] and mobile application[4]. Beam-like structures are more common among them; and bending mode actuators are the most widely used because of their relatively easier fabrication and design flexibility [5].

The application of cantilever beam-shaped structures as bending-mode actuators is very common in the field of piezoelectricity. Piezoelectric materials convert mechanical energy into electricity and vice versa. This unique feature makes them an ideal choice for various applications such as microelectromechanical systems (MEMS), energy harvesters, and acoustic and pressure sensors. At higher loading conditions, the displacements are usually much larger than the thickness and the accuracy of the linear theories are not acceptable. Consequently, its vital to include the geometric nonlinear terms in the formulation. 

Recent advances in engineering models have led to the generation of more complex mathematical models with partial differential equations (PDEs). Therefore, automated solution methods have gained more popularity than traditional analytical methods. Various automated platforms such as FreeFem [19], Firedrake [20], and FEniCS [21] have been developed recently. The open-source FEniCS platform automates the solution of principle of variations problems based on partial differential equations (PDEs) through code development in Python or C++ platforms.

Findings and Discussion

In this study, the static nonlinear bending behavior of three-dimensional porous piezoelectric actuators is investigated. The governing equations are obtained using the variational principle method and are solved using finite element modeling in the FEniCS automated environment. The accuracy and convergency of the present formulation are compared with the existing results in the literatures. The effects of power exponents, porosity parameters, and length-to-thickness ratio under different loading values ​​are investigated in this study.

Conclusion

The results show that the consideration of holes and porosity significantly affects the deformation of the porous actuator. The uniform porosity distribution has the greatest effect on actuator deformation, whereas the central porosity distribution has the least effect. In addition, variation in the volume fraction index in the range 0–1 leads to the highest rate of change in actuator tip deflection. By comparing the results of the linear and nonlinear theories, It has been found that the linear theory overestimates the deformations in the case of strong electromechanical loading. The findings of this research can be used to design and manufacture porous piezoelectric actuators.

Ethical Considerations compliance with ethical guidelines

The cooperation of the participants in the present study was voluntary and accompanied by their consent.

Funding

No funding.

Authors' contributions

Analysis of the results and to the writing of the manuscript: Mohammad Gholami

Supervision of the research: Mansour Alizadeh

Conflicts of interest

The authors declared no conflict of interest

 

مقاله پژوهشی

اثر تخلخل بر تغییر فرم غیر خطی نوک عملگرهای‌های پیزو الکتریک هدفمند

 

محمد غلامی1 ، منصور علیزاده 2*

1.        دانشجوی دکتری رشته مهندسی مکانیک، دانشکده مهندسی مکانیک، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ایران

2.        استادیار، دانشکده مهندسی مکانیک، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ایران 

 

تاریخ دریافت:

 

تاریخ داوری:

 

تاریخ پذیرش:

 

 

چکیده

مقدمه: سازه های به شکل تیر خصوصاً عملگرهای با مود خمشی به دلیل سهولت ساخت و انعطاف در طراحی نسبت به سایر کاربردها رایج تر ی داشته و بیشتر مورد توجه محققین قرارگرفته است.

روش: در این مطالعه، رفتار غیر خطی هندسی عملگر‌های متخلخل پیزوالکتریک هدفمند سه‌بعدی تحت بارهای الکترومکانیکی مورد بررسی قرار گرفته‌است. ترم های غیر خطی فون - کارمن برای در نظر گرفتن تغییر شکل‌های غیر خطی هندسی در رابطه جابجایی- کرنش لحاظ شده‌اند.. معادلات حاکم و شرایط مرزی مربوطه با استفاده از اصل حساب تغییرات به دست آمده‌اند. به منظور حل معادلات حاکمه غیر خطی، از روش تکراری نیوتن - رافسون و یک المان چهاروجهی ده گره ای و از طریق محیط کد نویسی پایتون در پلتفرم المان محدود منبع باز فنیکس FEniCS استفاده شده ‌است.

یافته­ها: اثرات شاخص‌های مختلف توانی، تخلخل ، نسبت‌ طول به ضخامت و اندازه بارهای اعمالی بر تغییر فرم نوک عملگر متخلخل پیزوالکتریک هدفمند مورد بررسی قرار گرفته‌است. حساسیت الگوهای مختلف توزیع تخلخل در راستای ضخامت بر تغییر فرم بدون بعد نوک عملگر بررسی شده‌است.

نتیجه­گیری: 

توزیع تخلخل یکنواخت بیش‌ترین تأثیر و توزیع تخلخل مرکزی کم‌ترین تأثیر را می‌پذیرد. به‌علاوه، تغییرات در شاخص کسر حجمی در محدوده 0 تا 1 بیش‌ترین نرخ تغییر در جابجایی نوک عملگر را دارد. با مقایسه نتایج مشخص شد که تئوری خطی در مقایسه با تئوری غیر خطی، تغییر فرم‌ها را در مقادیر بارگذاری الکترومکانیکی قوی بیش از مقدار واقعی پیش‌بینی می‌کند. یافته‌های این مطالعه می‌تواند در طراحی و ساخت عملگر‌های متخلخل پیزوالکتریک هدفمند مورداستفاده قرار گیرد.

 

از دستگاه خود برای اسکن و خواندن

مقاله به صورت آنلاین استفاده کنید

 

 

 

DOI:

 

 

واژه­های کلیدی:

عملگر پیزوالکتریک هدفمند، روش المان محدود، پاسخ غیر خطی، تخلخل، فنیکس

* نویسنده مسئول: منصور علیزاده

نشانی: دانشکده مهندسی مکانیک، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ایران

تلفن: 09166328500        

پست الکترونیکی: ma_alizadeh@iust.ac.ir

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مقدمه

مواد هدفمند (‏FGM)‏ که از ترکیب دو یا چند ماده ساخته می شوند، به دلیل نسبت استحکام به وزن بالا، انعطاف‌پذیری، مقاومت در برابر خوردگی، به سرعت جایگاه مهمی را در صنایع مختلف از جمله خودروسازی، هوافضا و … به دست آوردند. فضاهای خالی (Voids) و تخلخل ها، غالباً نگرانی‌ها و چالش های زیادی را در ساخت مواد هدفمند ایجاد می کنند. وجود منافذ و حفره‌ها می‌توانند به طور قابل‌توجهی بر رفتار مکانیکی و عملکرد تاثیر بگذارد. بنابراین، بررسی و شناسایی تخلخل در این نوع مواد یک مساله حیاتی برای بهینه‌سازی طراحی و کارایی آن‌ها است. بایو (1) از پیشگامان در تحلیل پوروالاستیسیته (Poroelasticity) بوده و یک مدل سه‌بعدی را برای انتشار موج در ساختارهای الاستیک توسعه داده‌است. متعاقبا، مطالعات مختلفی بر روی اثر پروالاستیسیته در کاربردهای مختلف انجام شده‌است (2-4). ترینح و کیم (5) نظریه تغییر شکل برشی مرتبه بالایی برای تجزیه و تحلیل ارتعاش استاتیکی و آزاد پوسته‌های کم عمق منحنی دوگانه متخلخل ساخته شده از مواد هدفمند را تحت فشار یکنواخت و سینوسی ، پیشنهاد کردند. وانگ و همکاران (6) میکروتیرهای متخلخل را با استفاده از نظریه گرادیان کرنش بررسی کردند. مطالعات متعددی برای تجزیه و تحلیل تخلخل مواد هدفمند با در نظر گرفتن تکیه گاه های الاستیک (7و8)، رفتار مغناطیسی الکتروالاستیک (9)، مکانیسم شکست (10)، نفوذپذیری (11) و نقص های  هندسی (12) انجام شده است. وانگ و همکاران رفتار غیر خطی عملگرهای سرامیکی پیزوالکتریک را تحت اثر میدان های قوی الکتریکی بررسی کردند(13).

کاربرد سازه‌های  به شکل تیر یکسرگیردار به عنوان عملگرهای مود خمشی در حوزه پیزوالکتریک بسیار رایج است. مواد پیزوالکتریک انرژی مکانیکی را به الکتریسیته و بالعکس تبدیل می‌کنند. این ویژگی منحصر به فرد آن‌ها را برای کاربردهای مختلف مانند سیستم‌های میکروالکترومکانیکی (‏MEMS)‏، برداشت کننده های انرژی، و سنسورهای آگوستیک و فشار ایده‌آل می‌سازد. تحلیل مکانیکی تیرهای ساندویچی پیزوالکتریک براساس تئوری غیرمحلی (nonlocal) توسط رضازاده و همکاران (14) انجام شد. نوزیر و روهی (15) یک راه‌حل نیمه تحلیلی برای تحلیل الاستیک سه‌بعدی پانل‌های استوانه‌ای با لایه‌های پیزوالکتریک توسعه دادند. ژانگ و همکاران (16) یک مدل دینامیکی برای یک میکرو تیر پیزوالکتریک لایه‌ای ارائه دادند. در شرایط بارگذاری با مقادیر بزرگتر، جابجایی‌ها معمولاً بسیار بزرگ‌تر از ضخامت هستند و نتایج تئوری های خطی دقیق نیست. در نتیجه، در نظر گرفتن ترم های غیر خطی هندسی در فرمولاسیون می‌تواند موثر باشد. رفتار تغییر شکل بزرگ تیرهای غیر همگن با شرایط مرزی چندگانه توسط داردل و همکاران (17) مورد مطالعه قرار گرفت. فوترس و همکاران (18) اثر هندسه غیر خطی را تحلیل ارتعاشات با دامنه بزرگ صفحات دایروی از جنس مواد هدفمند بررسی کردند.

پیشرفت‌های اخیر در مدل‌های مهندسی منجر به تولید مدل‌های ریاضی پیچیده‌تر با معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) ‏شده ‌است. بنابراین، روش های حل اتوماتیک نسبت به روش‌های تحلیلی و سنتی محبوبیت بیشتری کسب کرده‌اند. پلتفرم های اتوماتیک مختلفی مانند فری اف ای ام (FreeFem) (19)، فایر دراک (Firedrake)  (20) و فنیکس (FEniCS)(21) اخیراً توسعه یافته‌اند. پلتفرم منبع باز فنیکس راه‌حل مسائل اصل حساب تغییرات که مبتنی ‌بر معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) می باشند را از طریق توسعه کد در محیط پایتون یا سی پلاس پلاس، اتوماتیک می‌کند. رودریگز و همکاران (22) پکیج جدیدی مبتنی بر فنیکس را برای شبیه‌سازی‌های مکانیک محیط پیوسته توسعه دادند. یک فرآیند بهینه برای تجزیه و تحلیل معکوس و تعیین پارامتر متامتریال ها بر بستر فنیکس توسط شکرچی زاده و برسانی (23) ارائه شد. فونپنگ و بایز (24) از پلتفرم فنیکس برای توسعه یک فرمول‌بندی المان محدود ترکیبی به منظور تحلیل مسائل الاستیسیته گرادیان کرنش استفاده کردند.

در این مطالعه، رفتار غیر خطی خمشی استاتیک عملگر‌های متخلخل پیزوالکتریک سه‌بعدی هدفمند مورد بررسی قرار گرفته‌است. معادلات حاکمه با استفاده از روش حساب تغییرات به دست آمده ‌است و با استفاده از مدل‌سازی المان محدود در محیط اتوماتیک فنیکس حل شده ‌است. دقت و هم‌گرایی فرمولاسیون حاضر با نتایج موجود در مراجع مقایسه شده است. اثرات شاخص‌های توان نمایی، پارامترهای تخلخل و نسبت طول به ضخامت تحت مقادیر مختلف بارگذاری در این مطالعه مورد بررسی قرار گرفته‌است.

 

۲. فرمول‌بندی ریاضی عملگر متخلخل پیزوالکتریک

۲.۱ پیکربندی هندسی و خواص مواد

عملگر متخلخل پیزوالکتریک هدفمند یکسرگیردار تحت مطالعه دارای سطح مقطع مستطیلی یکنواخت با طول L، عرض b و ضخامت h به ترتیب در جهت‌های x، y و z در نظر گرفته شده است. عملگر تحت بارگذاری الکترومکانیکی در سطح بالایی قرار دارد (شکل 1).

تغییرات خواص مواد در راستای ضخامت بر اساس قانون توانی کلاسیک (Classical rule of mixture) به صورت زیر در نظر گرفته شده است.

 

(1)

img0 

 

که img0 خواص موثر عملگر پیزوالکتریک هدفمند می باشد. img0 و img0 به ترتیب خواص سطح بالایی و پایینی عملگر می باشند. m شاخص تخلخل (0<m< 1) و img0 الگوی توزیع تخلخل است.

 

 

 

 

 

img0 

شکل 1-هندسه، سیستم مختصات و پروفایل های بارگذاری یک عملگر FGPM

در مطالعه حاضر، سه نوع توزیع تخلخل به صورت زیر در راستای ضخامت در نظر گرفته شده است (شکل 2):

نوع یک: توزیع تخلخل یکنواخت:

img0 

(2)

نوع دو: چگالی بالای تخلخل در سطح بالایی و چگالی پایین تخلخل در سطح پایینی:

img0 

(3)

نوع سه: توزیع تخلخل مرکزی:

img0 

(4)

که img0 کسر حجمی ماده پیزوالکتریک هدفمند است و می توان آن را به شکل زیر بیان کرد:

img0 

(5)

که n شاخص توانی در جهت z است. سطوح بالایی و پایینی عملگر هدفمند به ترتیب از مواد  PZT-4 و PZT-5H همگن ساخته شده‌اند.

img0 

شکل 2- سه نوع توزیع تخلخل در امتداد ضخامت: الف)‏توزیع تخلخل یکنواخت (‏نوع ۱)‏:

ب)‏ چگالی بالای تخلخل در سطح بالایی و چگالی پایین تخلخل در سطح پایینی (‏نوع ۲)‏:

 ج)‏توزیع تخلخل مرکزی (‏نوع ۳) 

2.2 فرمولاسیون مسئله

در این بخش، فرمول‌بندی خمشی غیر خطی عملگر پیزوالکتریک متخلخل استخراج شده‌است. غیر خطی بودن هندسی با در نظر گرفتن ترم های غیر خطی فون کارمن در روابط جابجایی- کرنش در نظر گرفته شده است. معادلات ساختاری سه‌بعدی عملگر پیزوالکتریک به شرح زیر خواهد بود:

img0 

(6)

که img0 ، img0 و img0 به ترتیب تانسور تنش پیولا-کیرشهف دوم، تانسور کرنش گرین- لاگرانژ و ثابت مواد الاستیک می باشد.

img0 بردار جابجایی الکتریکی، img0 ، img0و img0 به ترتیب بردار میدان الکتریکی، پیزوالکتریک و تانسور ثابت های مادی دی الکتریک می باشند. روابط ساختاری معادله (6) با استفاده از بیان ویت (Voigt notation) می تواند به شکل زیر بیان گردد:

 

 

 

 

img0 

(7)

 

img0 

(8)

 

و کرنش گرین- لاگرانژ و میدان الکتریکی می تواند به شکل زیر بیان گردد:

img0 

(9)

 

img0 

(10)

که img0 پتانسیل الکتریکی است. فرم فشرده img0 بیانگر مشتق مکانی img0 نسبت به جهت img0 می باشد.

3. اصل حساب تغییرات

انرژی کرنش در یک ماده الاستیک خطی و شامل ترم های پیزوالکتریک، می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

img0 

(11)

اصل کار مجازی را برای ماده پیزوالکتریک به حجم img0 و سطح img0  می توانن به صورت زیر نوشته شود:

img0 

(12)

که img0عملگر تغییرات، U انرژی کرنش ذخیره‌شده در ماده پیزوالکتریک و img0 کار انجام شده توسط نیروهای خارجی است. تغییرات انرژی پتانسیل δU  و کار نیروهای خارجی img0 در معادله (12) به صورت زیر خواهد بود:

img0 

(13)

 

img0 

(14)

که img0 ، img0 و img0 به ترتیب بیانگر نیروی حجمی، بردار تنش سطحی و شارژ الکتریکی سطحی می باشد. با جایگذاری معادلات (13) و (14) در معادله (12)، استفاده از تکنیک انتگرال جزء به جزء و تئوری دیورژانس، فرم ضعیف شده (Weak form) ، F ، به صورت زیر بدست خواهد آمد:

img0 

(15)

با جمع آوری ضرایب ترم های img0 و img0، معادلات حاکمه به شکل زیر نتیجه خواهد شد:

img0 

(16)

و شرایط مرزی مربوطه به صورت زیر خواهد بود:

img0 

(17)

۴. روش حل

برای حل معادلات غیر خطی بدست آمده در رابطه (15)، تکنیک خطی سازی مورد نیاز است. بدین منظور الگوریتم نیوتن- رافسون برای تغییرات کوچک در مقدار ui مورد استفاده قرار گرفته است. این روش به شکل زیر سیستم معادلات را برای تغییرات جزئی در تکرار k+1 ام خطی سازی می کند (25):

img0 

(18)

که img0 تغییرات جزئی ui  از مرحله k  ام تا k+1 ام است. بنابراین، رابطه بین مرحله فعلی و قبلی می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

img0 

(19)

که F فرم ضعیف شده رابطه (14) و Ji مشتق F نسبت به مقادیر مجهول ui است. در نتیجه معادلات خطی به صورت زیر بدست خواهند آمد:

img0 

(20)

مشتق جهتی (directional derivative) که اثر تغییر جزئی img0 را تقریب می زند، می توان به صورت زیر بیان کرد(26):

img0 

(21)

روش تکراری (Iterative) پژوهش حاضر در محیط پایتون کد نویسی شده‌ و پلتفرم منبع باز فنیکس (27) برای حل معادلات غیر خطی استفاده شده‌است. المان لاگرانژی ترکیبی استاندارد (28) جهت حل مساله انتخاب شده است، که شامل ده گره مرتبه دو و چهار گره خطی است و در مجموع دارای ۴۲ درجه آزادی برای تقریب میدان های جابجایی و الکتریکی است(شکل 3).

img0 

شکل 3- المان سه بعدی برای میدان های جابجایی و الکتریکی (29)

 

۵. نتایج و بحث عددی

در این بخش، تغییر شکل عملگر متخلخل هدفمند با نسبت های طول به ضخامت متفاوت L / h ، شاخص قانون توانی n و تخلخل m تحت بارهای الکترومکانیکی مورد بررسی قرار گرفته‌اند. ​تغییرات ثابت الاستیک c11 در راستای ضخامت برای شاخص های توانی و تخلخل‌ مختلف در شکل‌های ۴ و ۵ ترسیم و با عملگر بدون تخلخل (n=1) مقایسه شده‌اند. ​وجود حفره‌ها بر اساس الگوهای مختلف تویع تخلخل و پارامتر های تخلخل m ، منجر به کاهش قابل‌توجهی در سفتی عملگر می‌شود. ​این پدیده همانگونه که در شکل 5 نشان داده شده است، با افزایش شاخص کسر حجمی تشدید می گردد. ضخامت و عرض عملگر ۱ میلی متر در نظر گرفته شده‌است. عملگر در یک سمت به صورت گیردار و در سمت دیگر آزاد در نظر گرفته شده است. خواص مادی عملگر متخلخل هدفمند در جدول ۱ لیست شده‌ است.

img0 

شکل 4- تغییرات ثابت الاستیک c11 در راستای ضخامت بدون بعد برای الگوهای مختلف تخلخل (m=0.1)

 

img0 

شکل 5- تغییرات ثابت الاستیک c11 در راستای ضخامت بدون بعد برای الگوهای مختلف تخلخل (m=0.2)

 

جدول 1-خواص مادی PZT-4 و PZT-5H  (30) 

PZT-5H

PZT-4

ثابت های مادی

20/127

139

img0 (GPa)

21/80

77/8

img0(GPa)

20/127

139

img0(GPa)

67/84

3/74

img0(GPa)

67/74

3/74

img0(GPa)

44/117

115

img0(GPa)

99/22

6/25

img0(GPa)

99/22

6/25

img0(GPa)

47/23

6/30

img0(GPa)

03/17

7/12

img0(cm-2)

03/17

7/12

img0(cm-2)

62/6-

2/5-

img0(cm-2)

62/6-

2/5-

img0(cm-2)

24/23

1/15

img0(cm-2)

771/2

306/1

img0 (10-8 Fm-1)

771/2

306/1

img0(10-8 Fm-1)

010/3

151/1

img0(10-8 Fm-1)

 

تغییر فرم نوک عملگر متخلخل با استفاده از مقدار جابجایی کل در سه بعد محاسبه شده است، که در آن u1 ، u2 و u3  به ترتیب جابجایی در امتداد محورهای x، y و z می‌باشند. ماکزیمم مقادیر تغییر فرم در هر جهت در نتایج ادامه گزارش ارائه شده‌است. میدان پتانسیل الکتریکی به صورت خطی در راستای ضخامت تقریب زده شده است و جابجایی‌های بدون بعد به صورت w/h، Tip/h ، u/L، v/L، w/L و در این تحقیق مورد استفاده قرار گرفته است. به منظور بررسی دقت و هم‌گرایی روش حل حاضر، نتایج خطی بدست آمده برای عملگرهای غیر متخلخل با نتایج مرجع (31) مقایسه همخوانی خوبی مشاهده شد. هم‌گرایی نتایج با ریز کردن مش بندی ارزیابی و در جدول ۲ نشان‌داده شده‌است. ​عملگر تحت بارگذاری یکنواخت مکانیکی t=10 kN/m2  و ولتاژ الکتریکی V=20ولت در سطح بالایی قرار گرفته است. اثر تغییرات شاخص کسر حجمی بر تغییر فرم ماکزیمم بدون بعد (Tip/L)‏ نوک عملگر هدفمند با الگوی تخلخل نوع یک (m=0.1) برای مقادیر بار مختلف در شکل های ۶ و 7 رسم شده‌است. عملگر متخلخل در معرض بار‌های الکترومکانیکی قرار گرفته است. با افزایش اندازه بار اعمالی، تاثیر ترم های غیر خطی بر پاسخ خمشی قابل‌توجه است و تفاوت بین تئوری های خطی و غیر خطی قابل‌چشم‌پوشی نیست. ​

 

جدول 2- جابجایی عرضی غیر خطی بدون بعد (w/t) عملگر هدفمند متخلخل (n=0.2)

(L/h)نسبت طول به ضخامت

تعداد

المان ها

25

15

6

4

657

466/85

2610/2

50022/0

160

659

616/85

2521/2

49507/0

432

661

798/85

2505/2

49323/0

896

663

950/85

2504/2

49243/0

1600

664

070/86

2508/2

49204/0

2592

668

456/86

2509/2

49211/0

5880

692

883/89

3746/2

49894/0

مرجع (31)

 

 

 

img0 

شکل 6- اثر تغییرات شاخص توانی n بر ماکزیمم جابجایی بی بعد نوک عملگر متخلخل (t=10 kN/m2, V=2 kVolt)

 

img0 

شکل 7- اثر تغییرات شاخص توانی n بر ماکزیمم جابجایی بی بعد نوک عملگر متخلخل

, V=3 kVolt) (t=30 kN/m2

 

 

شکل های 8 و 9 اثرات پارامتر تخلخل m را برای تئوری های خطی و غیر خطی نشان می دهند. افزایش پارامتر تخلخل، منجر به تغییر شکل های بیشتر در هر دو تئوری خطی و غیر خطی می شود. تئوری خطی همانگونه که در شکل 9 نشان داده شده است، میزان تغییر شکل های بزرگتری را در بارگذاری الکترومکانیکی هنگامی که بارگذاری افزایش می یابد، پیش بینی می کند.

پاسخ غیر خطی عملگر متخلخل تحت بارهای مکانیکی، الکتریکی و الکترومکانیکی در جداول 3 تا 5 گزارش شده‌است. ​تغییر شکل غیر خطی بدون بعد نوک عملگر متخلخل و مولفه های جابجایی در جهات x، y و z برای سه نوع الگوی تخلخل و شاخص‌های کسر حجمی مختلف مقایسه شده‌اند و مشخص شد که تغییر شکل‌های بدون بعد در همه جهات با افزایش شاخص کسر حجمی افزایش می‌یابد. ​

 

img0 

شکل 8-اثرات شاخص تخلخل m بر روی جابجایی بدون بعد (w/L) نوک عملگر پیزوالکتریک هدفمند

 (t=10 kN/m2, V=2 kVolt)

 

img0 

شکل 9- اثرات شاخص تخلخل m بر روی جابجایی بدون بعد (w/L) نوک عملگر پیزوالکتریک هدفمند

 (t=30 kN/m2, V=3 kVolt)

در حضور بارگذاری مکانیکی، خیز عرضی بدون بعد w/L، نقش اصلی را در خیز کلی نوک عملگر متخلخل ایفا می‌کند، در حالی که در بارگذاری الکتریکی، خیز درون صفحه‌ای بدون بعد u/L، نقش اصلی را دارد. این پدیده از نقطه‌نظر ریاضی به تفاوت در مولفه های کوپلینگ پیزوالکتریک img0 مربوط می‌شود. در مورد توزیع تخلخل مرکزی (‏نوع سه)‏، تغییر شکل‌های کمتری در مقایسه با انواع تخلخل دیگر مشاهده می‌شود که مربوط به مولفه های ثابت‌ سفتی نسبتاً کوچک‌تر، به ویژه در اطراف نقاط مرکزی عملگر متخلخل می‌باشد.

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول 3. مقایسه جابجایی غیر خطی بدون بعد عملگر هدفمند متخلخل (نوع یک) برای انواع شاخص های توانی مختلف (m=0.2) (L/h=6)

Tip def./L

w/L

v/L

u/L

n

بار الکترومکانیکی

08737/0

08698/0

00124/0

01014/0

0

t=20000 kN/m2

V=30 kVolt

09076/0

09033/0

00133/0

01089/0

2/0

09870/0

09815/0

00152/0

01101/0

1

10772/0

10700/0

00175/0

01275/0

5

08526/0

08511/0

00094/0

01328/0

0

t=20000 kN/m2

V=0

09014/0

08999/0

00130/0

01411/0

2/0

09823/0

09807/0

00122/0

01515/0

1

10430/0

10415/0

00128/0

01698/0

5

00335/0

00068/0

00030/0

00327/0

0

t=0

V=30 kVolt

00494/0

00270/0

00037/0

00412/0

2/0

00694/0

00409/0

00052/0

00558/0

1

00803/0

00297/0

00067/0

00744/0

5

 

جدول 4- مقایسه جابجایی غیر خطی بدون بعد عملگر هدفمند متخلخل (نوع دو) برای انواع شاخص های توانی مختلف (m=0.2) (L/h=6)

Tip def./L

w/L

v/L

u/L

n

بار الکترومکانیکی

08248/0

08201/0

00112/0

00911/0

0

t=20000 kN/m2

V=30 kVolt

08562/0

08508/0

00120/0

00981/0

2/0

09324/0

09257/0

00137/0

01136/0

1

10163/0

10079/0

00155/0

01313/0

5

07741/0

07631/0

00086/0

00542/0

0

t=20000 kN/m2

V=0

08171/0

08153/0

00095/0

00712/0

2/0

08871/0

08851/0

00112/0

01320/0

1

09352/0

09333/0

00117/0

01424/0

5

00532/0

00359/0

00036/0

00391/0

0

t=0

V=30 kVolt

00479/0

00217/0

00041/0

00425/0

2/0

00591/0

00210/0

00055/0

00551/0

1

00913/0

00479/0

00075/0

00775/0

5

 

 

 

 

جدول 5-مقایسه جابجایی غیر خطی بدون بعد عملگر هدفمند متخلخل (نوع سه) برای انواع شاخص های توانی مختلف (m=0.2) (L/h=6)

Tip def./L

w/L

v/L

u/L

n

بار الکترومکانیکی

07603/0

07559/0

01090/0

00838/0

0

t=20000 kN/m2

V=30 kVolt

07863/0

07814/0

00116/0

00898/0

2/0

08445/0

08383/0

00132/0

01038/0

1

09110/0

09028/0

00152/0

01218/0

5

07395/0

07379/0

00081/0

01103/0

0

t=20000 kN/m2

V=0

07750/0

07734/0

00088/0

01158/0

2/0

08332/0

08315/0

00101/0

01252/0

1

08765/0

08749/0

00106/0

01348/0

5

00347/0

00108/0

00033/0

00335/0

0

t=0

V=30 kVolt

00460/0

00196/0

00038/0

00405/0

2/0

00633/0

00228/0

00049/0

00548/0

1

00760/0

00240/0

00069/0

00720/0

5

 

تاثیر تغییرات شاخص های توانی n و پارامتر تخلخل m بر تغییر فرم غیر خطی بدون بعد نوک عملگرهای پیزوالکتریک در جدول ۶ لیست شده‌است. عملگر تحت بار مکانیکی یکنواخت t=25000 kN/m2 و پتانسیل الکتریکی V=200 ولت قرار دارد. تاثیر حفره‌ها و تخلخل‌ها بر پاسخ خمشی عملگر قابل‌توجه است و برای همه الگوهای تخلخل، تغییر شکل بیشتر عملگر با افزایش شاخص های کسر حجمی و تخلخل مشاهده می‌شود. این روند به دلیل تغییرات در ثابت‌های سفتی عملگر و متاثر از وجود حفره‌ها است. حساسیت تغییرات شاخص کسر حجمی در محاسبه جابجایی بدون بعد نوک عملگر متخلخل که بر اثر تغییرات شاخص توانی n ایجاد می گردد، برای سه نوع تخلخل در شکل های 10 تا 12 ترسیم شده‌است.

بارگذاری الکترومکانیکی اعمالی به سطح بالایی عملگر، به صورت بار مکانیکی یکنواخت t=10 kN/m2 و بار الکتریکی V=20 ولت در نظر گرفته شده است. با افزایش شاخص توانی، خواص مادی از PZT-4 به  PZT-5H متمایل می گردد و مقادیر بزرگتری برای جابجایی های بدون بعد مشاهده می شود. در همه موارد، نرخ تغییرات جابجایی در محدوده 0 تا 1 شاخص کسر حجمی برجسته تر ‌است. ​تغییر شکل بدون بعد در توزیع تخلخل یکنواخت (‏نوع یک)، ‏ بیش‌ترین تاثیر را از تغییر شاخص تخلخل متحمل می شود، در حالی که توزیع تخلخل مرکزی (‏نوع سه)‏ کم ترین تاثیر را می پذیرد. در همه موارد، تغییر شکل‌های بدون بعد عملگر در شاخص‌های کسر حجمی بالاتر به مقادیر حدی میل می کند

جدول 6- اثر تغییرات شاخص تخلخل بر روی جابجایی غیر خطی بدون بعد نوک عملگر پیزوالکتریک هدفمند (L/h=10)

n

m

توزیع تخلخل

10

5

3

2

1

5/0

2/0

0

41644/0

40950/0

40474/0

40104/0

39342/0

38368/0

37174/0

35817/0

0

غیر متخلخل

45477/0

44644/0

44076/0

43635/0

42726/0

41574/0

40176/0

38596/0

1/0

نوع یک

43607/0

42882/0

42383/0

41987/0

41143/0

40048/0

38710/0

37198/0

نوع دو

42562/0

41838/0

41342/0

40957/0

40162/0

39147/0

37906/0

36498/0

نوع سه

50101/0

49111/0

48426/0

47889/0

46768/0

45357/0

43676/0

41799/0

2/0

نوع یک

45896/0

45133/0

44604/0

44172/0

43216/0

41963/0

40444/0

38744/0

نوع دو

43536/0

42770/0

42253/0

41850/0

41019/0

39961/0

38669/0

37206/0

نوع سه

70708/0

68637/0

67263/0

66199/0

64024/0

61458/0

58555/0

55001/0

5/0

نوع یک

55457/0

54681/0

54105/0

53550/0

52072/0

49976/0

47476/0

44820/0

نوع دو

46753/0

45885/0

45290/0

44826/0

43862/0

42643/0

41174/0

39520/0

نوع سه

 

img0 

شکل 10- اثر تغییر شاخص های کسر حجمی و تخلخل بر روی جابجایی بدون بعد نوک عملگر متخلخل (نوع یک)

 

img0 

شکل 11- اثر تغییر شاخص های کسر حجمی و تخلخل بر روی جابجایی بدون بعد نوک عملگر متخلخل (نوع دو)

 

img0 

شکل 12- اثر تغییر شاخص های کسر حجمی و تخلخل بر روی جابجایی بدون بعد نوک عملگر متخلخل (نوع سه)

 

6. نتیجه‌گیری

در این مطالعه، تحلیل جابجایی غیر خطی نوک عملگر پیزوالکتریک متخلخل سه‌بعدی ساخته شده از مواد هدفمند تحت بارگذاری الکترومکانیکی مورد بررسی قرار گرفته‌ است. خواص مادی عملگر براساس قانون توانی در راستای ضخامت و بر حسب کسر حجمی مواد تشکیل دهنده، تقریب زده شده‌است. ​ ترم های غیرخطی فون-کارمن در میدان کرنش در نظر گرفته شده است. از اصل حساب تغییرات برای استخراج معادلات حاکمه غیر خطی و شرایط مرزی مربوطه استفاده شده است. ​معادلات غیر خطی بدست آمده با استفاده از روش نیوتن - رافسون خطی سازی شده‌ و از پلتفرم جدید فنیکس جهت حل عددی معادلات استفاده شده است. ​

اثر پارامترهای شاخص توانی و تخلخل، نسبت طول به ضخامت و الگوهای توزیع تخلخل مختلف مورد بررسی و مقایسه قرارگرفته است. دقت و هم‌گرایی فرمول‌بندی حاضر به کمک نتایج موجود در مراجع مقایسه شده است. نتایج فرمولاسیون تئوری‌های غیرخطی با

خطی مقایسه شده است و مشخص شد که تئوری خطی تغییر فرم‌ها را در مقادیر بارگذاری الکترومکانیکی قوی بیش از مقدار واقعی پیش‌بینی می‌کند. خروجی مطالعه حاضر نشان می‌دهد که در نظر گرفتن حفره‌ها و تخلخل‌های موجود در فرمولاسیون مسئله، به‌طور قابل‌توجهی بر تغییر شکل عملگر متخلخل تأثیر می‌گذارد و توزیع تخلخل یکنواخت بیش‌ترین تأثیر  و توزیع تخلخل مرکزی کم‌ترین تأثیر را می‌پذیرد. به‌علاوه، تغییرات در شاخص کسر حجمی در محدوده 0 تا 1 بیش‌ترین نرخ تغییر در جابجایی نوک عملگر را دارد. بارگذاری مجزای مکانیکی و الکتریکی نشان داد که در مورد بارگذاری مکانیکی، مؤلفه عرضی جابجایی w،  نقش اصلی را دارد، درحالی‌که برای بارگذاری الکتریکی، مؤلفه درون صفحه‌ای جابجایی u، بیش‌ترین تأثیر را دارد. یافته‌های این تحقیق می‌تواند در طراحی و ساخت عملگر‌های متخلخل پیزوالکتریک هدفمند مورداستفاده قرار گیرد. ​

تضاد منافع

نویسندگان اعلام می‌کنند که هیچ تضاد منافعی ندارند. ​

۷. مراجع

 

1.                      ​Biot MA. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid‐Saturated Porous Solid. I. Low‐Frequency Range. The Journal of the Acoustical Society of America. 1956 Mar;28(2):168–78. doi.org/10.1121/1.1908239

2.                      Selvadurai AP, editor. Mechanics of poroelastic media. Springer Science & Business Media; 2013 Mar 14.

3.                      Busse A, Schanz M, Antes H. A Poroelastic Mindlin‐Plate. InPAMM: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 2003 Dec (Vol. 3, No. 1, pp. 260-261). Berlin: WILEY‐VCH Verlag. doi.org/10.1002/pamm.200310402

4.                      Magnucki K, Stasiewicz P. Elastic bending of an isotropic porous beam. International Journal of Applied Mechanics and Engineering. 2004;9(2):351-60. ISSN :         1734-4492

5.                      Trinh MC, Kim SE. A three variable refined shear deformation theory for porous functionally graded doubly curved shell analysis. Aerospace Science and technology. 2019 Nov 1;94:105356. doi.org/10.1016/j.ast.2019.105356

6.                      Wang YQ, Zhao HL, Ye C, Zu JW. A porous microbeam model for bending and vibration analysis based on the sinusoidal beam theory and modified strain gradient theory. International Journal of Applied Mechanics. 2018 Jun 11;10(05):1850059. doi.org/10.1142/S175882511850059X

7.                      Babaei M, Asemi K, Safarpour P. Buckling and static analyses of functionally graded saturated porous thick beam resting on elastic foundation based on higher order beam theory. Iranian Journal of Mechanical Engineering Transactions of the ISME. 2019 Mar 1;20(1):94-112. 20.1001.1.16059727.2019.20.1.4.0

8.                      Phuong NT, Tu TM, Phuong HT, Van Long N. Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position. Journal of Science and Technology in Civil Engineering (JSTCE)-HUCE. 2019 Jan 31;13(1):33-45. doi.org/10.31814/stce.nuce2019-13(1)-04

9.                      Kiran MC, Kattimani SC, Vinyas M. Porosity influence on structural behaviour of skew functionally graded magneto-electro-elastic plate. Composite Structures. 2018 May 1;191:36-77. doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.02.023

10.                      Taghian Dehaghani M, Ahmadian M. Fracture mechanism of CoCrMo porous nano-composite prepared by powder metallurgy route. International Journal of Engineering. 2018 Jan 1;31(1):19-24. Doi.org/10.5829/ije.2018.31.01a.03

11.                      Sarparast Z, Abdoli R, Rahbari A, Varmazyar M, Reza Kashyzadeh K. Experimental and numerical analysis of permeability in porous media. International Journal of Engineering. 2020 Nov 1;33(11):2408-15. doi.org/10.5829/ije.2020.33.11b.31

12.                      Gupta A, Talha M. Influence of initial geometric imperfections and porosity on the stability of functionally graded material plates. Mechanics Based Design of Structures and Machines. 2018 Nov 2;46(6):693-711. doi.org/10.1080/15397734.2018.1449656

13.                      Wang QM, Zhang Q, Xu B, Liu R, Cross LE. Nonlinear piezoelectric behavior of ceramic bending mode actuators under strong electric fields. Journal of Applied Physics. 1999 Sep 15;86(6):3352-60. doi.org/10.1063/1.371213

14.                      Rezazadeh G, Khanchehgardan A, Shah-Mohammadi-Azar A, Shabani R. Mechanical response of a piezoelectrically sandwiched nano-beam based on the non-local theory. International Journal of Engineering. 2013 Dec 1;26(12):1515-24. doi.org/10.5829/idosi.ije.2013.26.12c.12

15.                      Nosier A, Rouhi M. Three-dimensional analysis of laminated cylindrical panels with piezoelectric layers.

16.                      Zhang Z, Fu G, Xu D. A Dynamic Model for Laminated Piezoelectric Microbeam. International Journal of Engineering. 2023 Jun 1;36(6):1143-9. doi.org/10.5829/ije.2023.36.06c.13

17.                      Dardel M, Khavvajia A, Akbari Alashti R, Pashaei MH. Large Deflection Analysis of Compliant Beams of Variable Thickness and Non-Homogenous Material under Combined Load and Multiple Boundary Conditions. International Journal of Engineering. 2012 Dec 1;25(4):353-62. doi.org/10.5829/idosi.ije.2013.25.04c.10

18.                      Fotros F, Pashaei MH, Alashti RA. Effects of geometric nonlinearity on stress analysis in large amplitude vibration of thin circular functionally graded plates with rigid core. doi.org/10.5829/idosi.ije.2011.24.03a.07

19.                      Hecht F. New development in FreeFem++. Journal of numerical mathematics. 2012 Dec;20(3-4):251-66. doi.org/10.1515/jnum-2012-0013

20.                      Rathgeber F, Ham DA, Mitchell L, Lange M, Luporini F, McRae AT, Bercea GT, Markall GR, Kelly PH. Firedrake: automating the finite element method by composing abstractions. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS). 2016 Dec 21;43(3):1-27. doi.org/10.1145/2998441

21.                      Langtangen HP. A FEniCS tutorial. InAutomated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book 2012 Feb 4 (pp. 1-73). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISSN 1439-7358

22.                      Rodriguez MA, Augustin CM, Shadden SC. FEniCS mechanics: A package for continuum mechanics simulations. SoftwareX. 2019 Jan 1;9:107-11. doi.org/10.1016/j.softx.2018.10.005

23.                      Shekarchizadeh N, Bersani AM. Developing an automatized optimization problem in FEniCS for parameter determination of metamaterials. InProceedings of FEniCS 2021 2021 (pp. 660-679). doi.org/10.6084/m9.figshare.14495607

24.                      Phunpeng V, Baiz P. Mixed finite element formulations for strain-gradient elasticity problems using the FEniCS environment. Finite Elements in Analysis and Design. 2015 Apr 1;96:23-40. doi.org/10.1016/j.finel.2014.11.002

25.                      Reddy JN. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. CRC press; 2003 Nov 24. ISBN 9780429210693

26.                      Abali BE, Müller WH, Eremeyev VA. Strain gradient elasticity with geometric nonlinearities and its computational evaluation. Mechanics of Advanced Materials and Modern Processes. 2015 Dec;1:1-1. doi.org/10.1186/s40759-015-0004-3

27.                      Logg A, Mardal KA, Wells G, editors. Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. Springer Science & Business Media; 2012 Feb 24. doi.org/10.1007/978-3-642-23099-8

28.                      Arnold DN, Logg A. Periodic table of the finite elements. Siam News. 2014 Nov 3;47(9):212.

29.                      Alnæs M, Blechta J, Hake J, Johansson A, Kehlet B, Logg A, Richardson C, Ring J, Rognes ME, Wells GN. The FEniCS project version 1.5. Archive of numerical software. 2015 Dec 7;3(100).

30.                      Doroushi A, Eslami MR, Komeili A. Vibration analysis and transient response of an FGPM beam under thermo-electro-mechanical loads using higher-order shear deformation theory. Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2011 Feb;22(3):231-43. doi.org/10.1177/1045389X11398162

31.                      Pandey VB, Parashar SK. Static bending and dynamic analysis of functionally graded piezoelectric beam subjected to electromechanical loads. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 2016 Dec;230(19):3457-69. doi.org/10.1177/0954406215596359

 

 

 

 

 


سند

Sanad is a platform for managing Azad University publications

الروابط

المراكز ذات الصلة

دعامة

الصفحات الرسمية

حقوق هذا الموقع الإلكتروني مملوكة لنظام SANAD Press Management. © 1442-1446

الصفحة الرئيسية| دخول| معلومات عنا| اتصل بنا|
[English] [فارسی] [en] [fa]