دوگانگی نوع ولف برای برنامه‌‌های ریاضی با قیود تعادلی ناهموار
الموضوعات :
علی انصاری اردلی
1
(گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه شهرکرد، شهرکرد، ایران)
الکلمات المفتاحية: Wolfe dual problem, optimality conditions, optimization problem with equilibrium constraints, convexificators,
ملخص المقالة :
یک برنامه‌ی ریاضی باقیود تعادلی یکی از مسائل بهینه‌سازی است که قیود آن برای مدل‌سازی تعادل‌های معینی در کاربردهای علوم مهندسی و اقتصاد مورد استفاده قرار می‌گیرد. هدف ما در این مقاله بررسی شرایط لازم بهینگی و بدست آوردن دوگان ولف برای این گونه مسائل است. برای این منظور یک مساله‌ی بهینه‌سازی با قیود تعادلی را در حالت ناهموار و غیرمحدب در نظر گرفته و فرض می‌کنیم توابعی که در مساله وجود دارند الزاما مشتق‌پذیر و یا محدب نیستند. به کمک مفهوم محدب‌کننده‌ها که تعمیمی از زیردیفرانسیل‌ها هستند، مفاهیم ایستایی تعمیم یافته، تحدب تعمیم یافته و برخی از توصیف‌های قیدی را برای این‌گونه از مسائل تعریف می‌کنیم. مساله‌ی دوگان وُلف را برای یک مساله‌ی بهینه‌سازی با قیود تعادلی معرفی می‌کنیم و برای این مساله با استفاده از مفهوم محدب‌کننده‌ها، قضایای دوگانگی ضعیف و دوگانگی قوی را بیان و اثبات می‌کنیم.
[1]. Scheel H, Scholtes S. Mathematical programs with complementarity constraints: stationarity, optimality and sensitivity. Mathematics of Operations Research.,25:1-22(2000).
[2]. M. L. Flegel, Constraint Qualifications and Stationarity Concepts for Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Ph.D. Dissertation, Faculty of Mathematics University of Wurzburg, Germany, (2005).
[3]. Ye, J.J.: Necessary and sufficient optimality conditions for mathematical programs with equilibrium constraints. Journal of Mathematical Analysis and Applications.307, 350-369 (2005).
[4]. Flegel, M.L., Kanzow, C.: Abadie-type constraint qualification for mathematical programs with equilibrium constraints. Journal of Optimization Theory and Applications. 124, 595-614 (2005).
[5]. Flegel, M.L., Kanzow, C.: On M-stationary points for mathematical programs with equilibrium constraints. J. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 310, 286-302 (2005).
[6]. Outrata, J. V., Kocvara, M., Zowe, J.: Nonsmooth approach to optimization problems with equilibrium constraints. In: Pardalos, P. (ed.) Theory, Applications and Numerical Results, Kluwer Academic, Dordrecht (1998).
[7]. Movahedian, N., Nobakhtian, S.: Necessary and sufficient conditions for nonsmooth mathematical programs with equilibrium constraints. Nonlinear Analysis. 72, 2694-2705 (2010).
[8]. Ye, J.J., Zhang, J.: Enhanced Karush–Kuhn–Tucker conditions for mathematical programs with equilibrium constraints. Journal of Optimization Theory and Applications. 163, 777-794 (2014).
[9]. V. F. Demyanov, Constructive Nonsmooth Analysis, Peterlang, Frankfurt am Main, (1995).
[10]. V. Jeyakumar and D.T. Luc, Nonsmooth calculus, minimality, and monotonicity of convexificators, Journal of Optimization Theory Applications. 101, 599-621(1999).
[11]. Demyanov VF. Convexification and concavification of a positively homogenous function by the same family of linear functions. Report 3, 208, 802. Universita di Pisa; (1994).
[12]. V. F. Demyanov, and V. Jeyakumar, Hunting for a smaller convex subdifferential, Journal of Global Optimization. 10, 305-326(1997).
[13]. Jeyakumar V, Luc DT. Approximate Jacobian matrices for nonsmooth continuous maps and C1-optimization. SIAM Journal on Control and Optimization.36:1815-1832(1998).
[14]. Ansari Ardali, A., Movahedian, N., Nobakhtian, S.: Convexificators and boundedness of the Kuhn–Tucker multipliers set, Optimization. 66:9, 1445-1463(2017).
[15]. Ansari Ardali, A, Boundedness of KKT Multipliers in Fractional Programming Problem Using Convexificators, Iranian Journal of Operations Research. 6(1), pp. 79-91(2015).
[16]. Ansari Ardali, A., Movahedian, N., Nobakhtian, S.: Optimality conditions for nonsmooth mathematical programs with equilibrium constraints, using convexificators. Optimization. 65:1, 67-85, (2014).
[17]. Wolfe, P.: A duality theorem for nonlinear programming. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 19, 239-244 (1961).
[18]. Mond, B., Weir, T.: Generalized Concavity and Duality, Generalized Concavity in Optimization and Economics. Academic Press, New York (1981).
[19]. Pini, R., Singh, C.:Asurvey of recent [1985–1995] advances in generalized convexity with applications to duality theory and optimality conditions. Optimization. 39(4), 311-360 (1997).
[20]. Bo¸t, R.I., Grad, S.-M.: Wolfe duality andMond–Weir duality via perturbations. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 73(2), 374-384 (2010).
[21]. Borwein JM, Lewis AS. Convex analysis and nonlinear optimization: theory and examples. Vol. 3. New York: Springer; (2010).
[22] Dutta J, Chandra S. Convexificators, generalized convexity and vector optimization. Optimization. 53:77-94(2004).
