یک روش عددی برای حل معادله کابل با مشتق کسری بر پایه الگوی تفاضلات متناهی
الموضوعات :لیلا اعظمی 1 , امیر حسین رفاهی شیخانی 2 , هاشم صابری نجفی 3
1 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
2 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
3 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
الکلمات المفتاحية: Convergence, Stability, Caputo-Fabrizio derivative, Membrane potential, Fourier analysis,
ملخص المقالة :
در این مقاله، یک تقریب عددی برای حل نوعی از معادله کابل کسری بر پایه روش تفاضلات متناهی پیشنهاد نمودیم که می توان به آسانی به دیگر معادلات کابل کسری تعمیم داد. مشتق کسری بکار گرفته شده از نوع کاپوتو-فابریزیو است. با کمک فرمول تفاضلی پیشرو مشتق کسری را تقریب زده و سپس معادله کسری را همراه تقریب ذکر شده و طرح تفاضلی گسسته سازی می کنیم به منظور بررسی پایداری و همگرایی روش پیشنهادی، قضایایی ارائه نمودیم. در پایان با استفاده از دو مثال عددی از معادله کابل با شرایط مرزی و اولیه متفاوت کارآیی و دقت روش بکار گرفته شده، را مورد بررسی قرار دادیم. نتایج بدست آمده را با جوابهای دقیق معادله مقایسه نمودیم. نمودارهای اراﺋﻪ شده در هر دو مثال گویای سازگاری جوابهای عددی و جوابهای تحلیلی است که به وضوح دیده می شود. همچنین جدولها هم نمایشگر خطای کوچک بین دو جواب عددی و تحلیلی است که نشان میدهد روش پیشنهادی ما از دقت بالایی برخوردار است
[1] R. Ozarslan, E. Bas, D. Baleanu, B. Acay, Fractional physical problems including wind-influenced projectile motion with Mittag-Leffler kernel, J. AIMS Math, 5(1), 2019, 467-481.
[2] M. A. Firoozjaee, H. Jafari, A. Lia, D. Baleanu, Numerical approach of Fokker- Planck equation 1with Caputo-Fabrizio derivative using Ritz, J. Com. App. Math 339, 2018, 367-373.
[3] H. Aminikhah, A. H. Refahi Sheikhani, H. Rezazadeh, Sub-equation method for the fractional regularized long-wave equations with conformable fractional derivatives, J. Scien. Iran, 23(3), 2016, 1048-1054.
[4] H. Aminikhah, A. H. Refahi Sheikhani, H. Rezazadeh, Exact solution of some nonlinear systems of partial differential equations by using the functional variable method, J. Math, 56(79), 2014, 103-116.
[5] H. Aminikhah, A. H. Refahi Sheikhani, H. Rezazadeh, Stability analysis of distributed order fractional chen system, J. Scien.World, 2013, 1-13.
[6] P. Gholamin, A. H. Refahi Sheikhani, A new three-dimensional chaotic system: Dynamical properties and simulation, J. Phy, 55(4), 2017, 1300-1309.
[7] I. Karatay, N. Kale, A new difference scheme for fractional cable equation and stability analysis, J. App. Math. Res. 4 (1), 2015, 52-57.
[8] S. Kumar, J. F. Gomez-Aguilar, Numerical solution of Caputo-Fabrizio time fractional distributed Order reaction-diffusion equation via Quasi Wavelet based numerical method, J. App. Comp. Mecha. 6(4), 2020, 848-861.
[9] K. Moaddy, I. Hashim, S. Momani, Non-standard difference scheme for solving fractional-order Rossler chaotic and hyperchaotic systems, J. Com. Math. Appl, 62, 2011, 1068-1074.
[10] K. Owolabi, Riemann-Liouville fractional derivative and application to model chaotic differential equations, J. Frac. Diff. Appl, 4(2), 2018, 99-1
[11] R. Almeida, A. B. Malinowska, T. Monteiro, Fractional differential equations with a Caputo derivative with respect to a kernel function and their applications, J. Math. Meth. Appl. Scien, 2018, 1-20.
[12] H. Aminikhah, A. Refahi Sheikhani, H. Rezazadeh, Exact solutions for the fractional differential equations by using the first integral method, J. Non. Eng, 4(1), 2015, 15-22.
[13] S. I. Muslih, O. P. Agrawal, Riesz Fractional Derivatives and Fractional Dimensional Space, J. Theo. Phys, 49, 2010, 270-275.
[14] S. Zeng, D. Baleanu, Y. Bai, G. Wu, Fractional differential equations of Caputo-Katugampola type and numerical solutions, J. App. Math. Comp, 315, 2017, 549-554.
[15] A. Atangana, K. M. Owolabi, New numerical approach for fractional differential equations, J. Math. Na, 2018, 1-21.
[16] M. Mashoof, A. H. Refahi Sheikhani, H. Saberi Najafi, Stability analysis of distributed- order Hilfer-Prabhakar systems based on inertia theory, J. Math. Notes, 104(1-2), 2018, 74-85.
[17] H. Khan, R. Shah, P. Kumam, D. Baleanu, M. Arif: An efficient analytical technique, for the solution of fractional-order telegram equations, J. Mathematics, 2019, 1-19.
[18] R. Shah, H. Khan, M. Arif, P. Kumam, Application of Laplace-Adomian decomposition method for the analytical solution of third-order dispersive fractional partial differential equations, J. Entropy, 2019, 1-17 .
[19] M. Modanli, A. Akgul, Numerical solution of fractional telegram differential equations by theta-method, J. Eur. Phy. Spec. Top, 226, 2017, 3693-3703.
[20] S. Yadav, R. K. Pandey, A. K. Shukla, Numerical approximations of Atangana-Baleanu Caputo derivative and its application, J. Cha. Soli. Fract, 118, 2019, 58-64.
[21] M. Modanli, Two numerical methods for fractional partial differential equation with nonlocal boundary value problem, J. Adv. Diff. equ, 2018, 1-19.
[22] A. Atangana, R. Alqahtani, Numerical approximation of the space-time Caputo-Fabrizio fractional derivative and application to groundwater pollution equation, J. Adv. Diff. equ, 2016, 1-13.
[23] A. Atangana, J. Nieto, Numerical solution for the model of RLC circuit via the fractional derivative without singular kernel, J. Adv. Mech. Eng. 7(10), 2015, 1-7.
[24] Y. Zhou, Z. Luo, A Crank–Nicolson finite difference scheme for the Riesz space fractional-order parabolic-type sine-Gordon equation, J. Ad. Diff. Equ, 2018, 1-7.
[25] U. Ali, F. A. Abdullah, A. I. Smail, Crank-Nicolson finite difference method for two-dimensional fractional sub-diffusion equation, J. Inter. Appr. Scien. Comp, 2, 2017, 18-29.
[26] S. M. Oishi, J. Y. Yuan, J. A. Cuminato, D. E. Stewart, Stability analysis of Crank–Nicolson and Euler schemes for time-dependent diffusion equations, J. Num. Math, 55(2), 2015, 487-513.
[27] I. Karatay, N. Kale, Finite Difference Method of Fractional Parabolic Partial Differential Equations with Variable Coefficients. J. Cont. Math. Scien, 9(16), 2014, 767-776.
[28] I. Karatay, N. Kale, S. Bayramoglu, A new difference scheme for time fractional heat equations based on the Crank-Nicholson method. J. Theo. App, 16, 2013, 892-910.
[29] Z. Liu, A. Cheng, X. Li, A fast-high order compact difference method for the fractional Cable equation, J. Num. Metho. Par. Diff. equ, 2018, 1-3
[30] W. Rall, Core conductor theory and Cable properties of neurons, in: R. Poeter(Ed), Handbook of Physiology: The Nervous System, American Physiological Society, Bethesda, MD, 1977, 39-97, (Chapter 3).
[31] S.Vitali, F. Mainardi, G. C. Castellani, Time fractional Cable equation and applications in neurophysiology, J. Chaos Soli. Fract, 102, 2017, 467-472.
[32] C. M. Chen, F. Liu, K. Brrage, Numerical analysis for a variable-order nonlinear Cable equation, J. Com. Appl. Math, 236, 2011, 209-224.
[33] R. Khanbabaee, M. Tabesh, Introduction to neurophysics. J. Physics Research, 15(4), 2016, 347-371.
