روش تکرار تغییراتی تعمیم یافته برای حل معادلات مشتقات جزئی فرکتال

الموضوعات :

هما افراز ¹ (گروه ریاضی دانشگاه پیام نور تهران ایران)
علیرضا خلیلی گلمانخانه ² (گروه فیزیک، واحد ارومیه، دانشگاه آزاد اسلامی ،ارومیه ، ایران)

تاريخ الإرسال : 28 السبت , صفر, 1444 تاريخ التأكيد : 19 الثلاثاء , جمادى الأولى, 1444 تاريخ الإصدار : 14 الثلاثاء , محرم, 1445

الکلمات المفتاحية: fractal partial differential equations, Generalized Variational Iteration Method, Fractal Calculus, Fractal,

ملخص المقالة :

حسابان کسری شاخه‌ای از ریاضیات کلاسیک است ، که با عملیات مشتق و انتگرال رتبه کسری سروکار دارد. اخیراً تحقیقات زیادی شامل حسابان کسری برای مطالعه پدیده های مربوط به ساختارها و فرایندهای فرکتال انجام شده است. فرکتال‌ها شکل‌هایی هستند که دارای بعد کسری بوده و به طور طبیعی در پدیده های غیرخطی و نامتعادل در زمینه‌های مختلف ظاهر می‌شوند. در سال‌های اخیر انواع مختلفی از مشتقات و حسابان کسری و فرکتال توسط دانشمندان زیادی ارائه شده و به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفته است. اندازه‌گیری‌ها در فرآیندهای فیزیکی موضعی است و حسابان کسری موضعی ابزار مفیدی برای حل برخی از مسائل فیزیک و مهندسی می‌باشد. گنگال حسابان کسری موضعی را بررسی کرده و ارتباطی بین آن و فرکتال‌ها را به دست آورده است. با استفاده از حسابان کسری موضعی و ویژگی‌های فرکتال، F^α-حسابان یا حسابان فرکتال را روی زیر مجموعه‌ای از خط حقیقی تعریف کرده که یک حساب ساده، سودمند، ساختاری و الگوریتمی است. در این پژوهش، ابتدا مفاهیم اولیه و اساسی F^α- حسابان یا حسابان فرکتال را بیان می‌کنیم. سپس روش تکرار تغییراتی تعمیم یافته در حسابان فرکتال را پیشنهاد می‌کنیم. برا‌ی نشان دادن کارایی حسابان فرکتال و روش جدید، چند معادله دیفرانسیل مشتقات جزئی فرکتال را با این روش حل کرده و نشان می‌دهیم که این روش نسبت به روش تکرار تغییراتی لاپلاس کسر‌ی موضعی بهتر، کاراتر، راحت‌تر و مناسب‌تر است

المصادر:

[1] Kolwankar, K.M., Gangal, A.D, Hölder exponents of irregular signals and local fractional derivatives, Pramana J. Phys., 1997, 49-68.

[2] Tatom F. B, The Relationship between Fractional Calculus and Fractals, Fractals, 3(1), 1995, 217-229.

[3] Golmankhaneh.A.K, On the calculus of the parameterized fractal curves, Turk. J. Phys. 41 (2017) 418-425.

[4] Golmankhaneh.A.K, Fernandez.A, Fractal Calculus of Functions on Cantor Tartan Spaces. Fractal Fract 2(30) (2008) 1-13.

[5]Golmankhaneh.A. K, Fernandez.A, Golmankhaneh. A. K, Baleanu.D, Diffusion on middle-X Cantor sets, Entropy, 20(504) (2018) 1-13.

[6] Parvate.A, Gangal.A.D, Calculus on fractal subsets of real-line I: Formulation, Fractals 17(01) (2009) 53-148.

[7] Parvate.A, Gangal.A.D, Calculus on fractal subsets of real line II: Conjugacy with ordinary calculus, Fractals 19(03) (2011) 271-290.

[8] Parvate.A, Satin.S, Gangal.A.D, Calculus on fractal curves in R^n, Fractals, 19(01) (2011), 15-27.

[9] Satin.S, Gangal.A.D, Langevin Equation on Fractal Curves, Fractals 24(03) (2016), 1650028.

[10] Ashrafi.s , Golmankhaneh. A.K., Energy Straggling Function by Fa -Calculus, ASME J. Comput. Nonlin. Dyn. 12(5) (2017), 051010.

[11]Golmankhaneh.A.K,Golmankhaneh.A.K, Baleanu. D, About Maxwell’s equations on fractal subsets of R3, Cent. Eur. J. Phys., 11(6) (2013) 863-867.

[12] Golmankhaneh. A.K, On the Fractal Langevin Equation, Fractal Fract.,3(1):11 (2019) 1-9.

[13] Golmankhaneh.A.K, Statistical Mechanics Involving Fractal Temperature, Fractal Fract. 3(2):20 (2019) 1-12.

[14] Golmankhaneh.A.K, Baleanu.D, Fractal calculus involving gauge function. Commun. Nonlinear Sci, 37, (2016) 125-130.

[15]Golmankhaneh.A.K,Golmankhaneh.A.K, Baleanu.D, Lagrangian and Hamiltonian mechanics on fractals subset of real-line, Int.J. Theor. Phys., 52(11), (2013) 4210-4217.

[16]Golmankhaneh.A.K.Golmankhaneh.A.K,Baleanu.D,About Schr¨odinger equation on fractals curves imbedding in R3, Int. J. Theor. Phys., 54(4) (2015), 1275-1282.

[17] Golmankhaneh.A.K, Baleanu.D, Diffraction from fractal grating Cantor sets, J. Mod. Opt., 63(14) (2016), 1364-1369.

[18] Golmankhaneh.A.K, Cattani.C, Fractal Logistic Equation, Fractal Fract.,DOI:10.3390/fractalfract3030041.

[19]Golmankhaneh.A.K, Fazlollahi.V, Baleanu.D, Newtonian mechanics on fractals subset of real-line, Rom. Rep. Phys., 65(1) (2013) 84-93.

[20]Golmankhaneh.A.K,Fernandez.A, Random Variables and Stable Distributions on Fractal Cantor Sets, Fractal Fract., 3(2):31(2019) 1-13.

[21] Golmankhaneh.A.K, Tunc.C, On the Lipschitz condition in the fractal calculus, Chaos, Soliton Fract. , 95 (2017), 140-147.

[22] Golmankhaneh.A.K, Tunc.C, Sumudu Transform in Fractal Calculus, Appl. Math. Comput., 350 (2019) 386-401.

[23] Golmankhaneh. A. K, KamalAli. K, Fractal Kronig-Penney model involving fractal comb potential, DOI: 10. 22124/Journal of Mathematical Modeling, Vol. 9, No. 3, 2021, pp. 331-345.

[24] Golmankhaneh. A. K, Fractal Calculus and its Applications, World Scientific, 2022. doi:10.1142/12988.

[25] Ashrafi. S, Golmankhaneh. A. K , Dimension of quantum mechanical path, chain rule, and extension of Landau’s energy straggling method using F^α-Calculus, Turk. J. Phys., 42(2) (2018), 104-115