حرکت اعضای گروه‌های جایگشتی دووجهی متناهی

الموضوعات :

مهدی رضائی ¹

1 - گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئين زهرا، بوئين زهرا، قزوین، ایران

تاريخ الإرسال : 29 الأحد , ذو القعدة, 1444 تاريخ التأكيد : 26 الإثنين , صفر, 1445 تاريخ الإصدار : 06 الخميس , رجب, 1445

الکلمات المفتاحية: انتقالی, دور, حرکت, گروه دووجهی,

ملخص المقالة :

فرض کنید G یک گروه جایگشتی روی یک مجموعه Ω باشد به طوری که هیچ نقطه ثابتی در Ω نداشته باشد و فرض کنید m یک عدد صحیح مثبت باشد. اگر برای هر زیرمجموعه Γ از Ω و هر g از G اندازه‌های |Γg Γ| کراندار باشند، آن‌گاه حرکت Γ و حرکت g به ترتیب با نمادهای move(Γ) و move(g) نشان داده شده و به صورت زیر تعریف می‌شوند: move(Γ):=max{ |Γg Γ| |g∈G} و move(g):=max{ |Γg Γ| | Γ⊆Ω}. اگر برای هر زیرمجموعه Γ از Ω داشته باشیم move(Γ)≤m، آن‌گاه G با حرکت کراندار m نامیده شده و حرکت G به صورت زیر تعریف می‌شود: move(Γ):=max{ |Γg Γ| |Γ⊆Ω, g∈G}. در این مقاله به بررسی حرکت اعضای گروه دووجهی از مرتبه n که با نماد Dn نشان داده می‌شود، می‌پردازیم. برای این‌ کار ابتدا نشان می‌دهیم که این گروه روی مجموعه {1,...,n} به صورت انتقالی عمل می‌کند. سپس ساختار دوری اعضای این گروه‌ها و حرکت این اعضا تعیین می‌شوند. در انتها، حالتی که n یک عدد اول فرد باشد بررسی می‌شود و نشان می‌دهیم که حرکت تمامی عناصر گروه دووجهی در این حالت یکسان می‌باشد.

نص كامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل و سوم، مرداد و شهریور 1402

شماره شاپا: X2588-588

 

 

 

 

حرکت اعضای گروه‌های جایگشتی دووجهی متناهی

 

 

مهدی رضائی¹

 

گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئين زهرا، بوئين زهرا، قزوین، ایران

 

 

تاريخ ارسال مقاله: ۲8/03/۱۴۰2   تاريخ پذيرش مقاله: 20/06/۱۴۰2

چکیده

فرض کنید یک گروه جایگشتی روی یک مجموعه  باشد به طوری که هیچ نقطه ثابتی در  نداشته باشد و فرض کنید  یک عدد صحیح مثبت باشد. اگر برای هر زیرمجموعه از  و هر  از  اندازه‌های  کراندار باشند، آن‌گاه حرکت و حرکت به ترتیب با نمادهای  و  نشان داده شده و به صورت زیر تعریف می‌‌شوند:  و . اگر برای هر زیرمجموعه از  داشته باشیم ، آن‌گاه  با حرکت کراندار  نامیده شده و حرکت  به صورت زیر تعریف می‌شود: در این مقاله به بررسی حرکت اعضای گروه دووجهی از مرتبه  که با نماد  نشان داده می‌شود، می‌پردازیم. برای این‌ کار ابتدا نشان می‌دهیم که این گروه روی مجموعه  به صورت انتقالی عمل می‌کند. سپس ساختار دوری اعضای این گروه‌ها و حرکت این اعضا تعیین می‌شوند. در انتها، حالتی که  یک عدد اول فرد باشد بررسی می‌شود و نشان می‌دهیم که حرکت تمامی عناصر گروه دووجهی در این حالت یکسان می‌باشد.

 

 

واژه‌های کلیدی: حرکت، گروه دووجهی، انتقالی، دور.

 

---

[1] . عهده­دار مکاتبات:                                                   Email: [e-mail], [e-mail]

1- مقدمه

برای اولین بار پرگر¹1 تعریف جدیدی را در مورد دسته‌ای خاص از گروه‌های جایگشتی در [4] عنوان نمود و آن را حرکت یک گروه جایگشتی نامید. برای یک گروه جایگشتی  روی یک مجموعه ، اگر برای زیرمجموعه از  و هر  از اندازه‌های  کراندار باشند، آن‌گاه حرکت  و حرکت  به ترتیب با نمادهای  و  نشان داده شده و به صورت زیر تعریف می‌شوند:

 

و

.

 

اگر برای هر زیرمجموعه  از  عدد صحیح مثبت  موجود باشد که ، آن‌گاه  را با حرکت کراندار  گویند و حرکت  به صورت زیر تعریف می‌شود:

 

پرگر در [4] ثابت کرده است که درجه، طول و تعداد مدارهای گروه‌های با حرکت کراندار، محدود به تابعی از  می‌باشند. گروه جایگشتی  روی یک مجموعه  انتقالی عمل می‌کند، هرگاه برای هر دو نقطه  و  از ، عضو  موجود باشد به طوری که . اگر هر عضو غیر همانی  دارای حرکت یکسان  باشد، آن‌گاه  را با حرکت یکسان گویند. به وضوح هر گروه جایگشتی با حرکت یکسان، با حرکت کراندار نیز می‌باشد، ولی لزوماً عکس این مطلب صحیح نیست. به عنوان مثال گروه متقارن  در عمل انتقالی خود روی مجموعهدارای حرکت کراندار ۲ است ولی حرکت تمامی اعضای آن ۲ نیست و لذا یک گروه با حرکت یکسان نمی‌باشد. مفهوم حرکت یکسان برای اولین بار در [1] بیان شد.

یک جایگشت  که در آن ها اعداد طبیعی هستند را یک دور به طول  می‌نامیم. می‌گوییم عضو  یک نقطه مانند  از  را ثابت نگه می‌دارد، هرگاه . به طور کلی مجموعه تمام نقاط ثابت  در  را با  نشان می‌دهیم. اگر در تجزیه  به حاصلضرب دورهای مجزا،  دور به طول ۱،  دور به طول ۲، ... و در نهایت  دور به طول  ظاهر شود، گوییم  دارای ساختار دوری  می‌باشد. ساختار دوری عضو   را با  نشان می‌دهیم. گروه دووجهی از مرتبه  با نماد  نشان داده شده و به صورت  تعریف می‌شود. می‌دانیم که اعضای  به صورت زیر می‌باشند: . گروه  که به صورت ضرب نیم مستقیم زیرگروه نرمال  و زیرگروه   از گروه  نوشته می‌شود را یک گروه فروبنیوس روی یک مجموعه  گویند، هرگاه  روی  انتقالی عمل کند و در این عمل، تنها عضو همانی، بیش از یک نقطه را ثابت نگه دارد. یعنی، برای هر  داشته باشیم . می‌دانیم که گروه‌ دووجهی از مرتبه ، برای  های فرد، یک گروه فروبنیوس است. ([2] را ببینید). هدف این مقاله محاسبه حرکت اعضای گروه دووجهی  در نمایش جایگشتی انتقالی آن روی مجموعه  می‌باشد. منظور از  بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی  است.

 

2- نتایج مقدماتی

فرض کنیم  یک گروه جایگشتی روی یک مجموعه  و  یک عضو غیر همانی باشد. همچنین فرض کنیم در نمایش  به صورت حاصلضربی از دورهای مجزا،  دور نابدیهی از طول‌های  وجود داشته باشند. در این صورت می‌توانیم  را به صورت  نشان دهیم که در آن برای هر ، داریم  و.

فرض کنیم  یک زیرمجموعه از  باشد به طوری که برای هر ، شامل  نقاط از – امین دور  است و همچنین نقاط طوری انتخاب شوند که .

لذا می‌توانیم  را به صورت زیر انتخاب کنیم:

 

که در آن اگر   فرد باشد،  را در نظر می‌گیریم و اگر  زوج باشد،  در نظر گرفته می‌شود.

توجه شود که به شکل منحصر به فرد مشخص نمی‌شود و بستگی به نوشتن دورهای   دارد. برای هر زیرمجموعه  از این نوع، می‌گوییم که  متشکل از هر نقطه دوم از هر دور نابدیهی است. حال می‌توان نتیجه گرفت که

.

 

لم بعدی نشان می‌دهد که مقدار فوق، به ازای هر زیرمجموعه دلخواه  از ، یک کران بالا برای  می‌باشد.

 

لم ۱.۲: (لم ۱.۲ از [3]) فرض کنید  یک گروه جایگشتی روی یک مجموعه  باشد و . در این صورت برای هر ،  که  طول – امین دور  و  تعداد دورهای نابدیهی  در نمایش دور مجزای آن می‌باشد.

به عنوان یک نتیجه مستقیم از لم فوق می‌توان گفت که با در نظر گرفتن نمایش ذکر شده  به صورت حاصلضرب دورهای مجزای از طول‌های ، داریم:  

حال گروه دووجهی  را از نگاه هندسی در نظر می‌گیریم. این گروه به عنوان گروه تقارن‌های یک -ضلعی منظم در نظر گرفته می‌شود و شامل  دوران حول مرکز -ضلعی به اندازه  رادیان برای در جهت مثلثاتی و  انعکاس نسبت به  محور تقارن -ضلعی می‌باشد. گروه  روی مجموعه رئوس -ضلعی، که مجموعه  در نظر می‌گیریم، عمل می‌کند و با توجه به فرد یا زوج بودن ، مولدهایش تعیین می‌شوند. در واقع، با در نظر گرفتن  که در آن  یک عدد طبیعی بوده و  یا  و ، می‌توان  را به صورت زیر در نظر گرفت:

.

 

3- نتایج اصلی و مثال‌ها

در این بخش، نتایج اصلی این مقاله ارائه می‌گردند. ابتدا در لم زیر نشان می‌دهیم که گروه دووجهی  به عنوان یک گروه جایگشتی روی مجموعه  به صورت انتقالی عمل می‌کند.

 

لم ۱.۳: گروه دووجهی  روی مجموعه  به صورت انتقالی عمل می‌کند.

برهان: فرض کنیم  و  دو نقطه در  باشند بطوری که . در واقع این دو نقطه، رئوس یک -ضلعی منظم می‌باشند. در این صورت  یک دوران حول مرکز این -ضلعی منظم می‌باشد که  را به  منتقل می‌کند.

اکنون مثال‌هایی از گروه‌های جایگشتی دووجهی  برای  های زوج و فرد ارائه می‌دهیم و حرکت اعضای آن‌ها را محاسبه می‌کنیم.

 

مثال ۲.۳: فرض کنید  که روی مجموعه  به صورت انتقالی عمل می‌کند. در این صورت  بجز عنصر همانی، دارای دو عضو  و  به صورت یک دور به طول ۴، دو عضو  و  به صورت یک دور به طول ۲ و سه عضو ،  و  به صورت حاصلضرب دو دور به طول ۲ می‌باشد که

 

 

 

و . لذا با در نظر گرفتن مجموعه  متشکل از هر نقطه دوم از هر دور از این اعضا، مشاهده می‌شود که

 

 

 

و . در نتیجه این گروه با حرکت کراندار ۲ می‌باشد.

 

مثال ۳.۳: عمل انتقالی گروه فروبنیوس  روی مجموعه  را در نظر می‌گیریم. در این صورت  بجز عنصر همانی، دارای چهار عضو ، ،  و  به صورت یک دور به طول ۵ و پنج عضو ، ، ،  و  به صورت حاصلضرب دو دور به طول ۲ می‌باشد که

 

 

و

 

 

 

با در نظر گرفتن مجموعه  متشکل از هر نقطه دوم از هر دور از این اعضا، مشاهده می‌شود که  و لذا این گروه با حرکت یکسان ۲ می‌باشد.

حال در گزاره زیر، ساختار دوری اعضای گروه‌های جایگشتی دووجهی  برای های زوج و فرد مشخص می‌گردد.

 

گزاره ۴.۳: ساختار دوری اعضای گروه‌ جایگشتی دووجهی  به صورت زیر می‌باشند:

الف) اگر ، آن‌گاه

 

و

 

و

 

 

ب) اگر ، آن‌گاه

 

و

 

و

.

 

برهان: از آنجایی که  یک دوران حول مرکز -ضلعی به اندازه  رادیان در جهت مثلثاتی می‌باشد، می‌توان نوشت: . پس ساختار دوری  معلوم می‌شود. از طرفی می‌دانیم که ها دوران‌هایی حول مرکز -ضلعی به اندازه  رادیان در جهت مثلثاتی می‌باشند که از مرتبه  هستند. پس به صورت  دور به طول  می‌باشند و لذا

 

 

فرض کنیم . از آنجایی که  یک انعکاس نسبت به محور تقارن افقی -ضلعی می‌باشد، پس  به صورت حاصلضرب  دور به طول ۲ می‌باشد و لذا . ساختار دوری اعضای  را در دو حالتی که  فرد یا زوج است جداگانه بررسی می‌کنیم. ابتدا فرض کنیم  فرد باشد. در این صورت و  هر دو جایگشتی فرد هستند. همچنین ها برای های زوج، جایگشتی زوج و برای های فرد، جایگشتی فرد هستند. در نتیجه ها برای های زوج، جایگشتی فرد و برای های فرد، جایگشتی زوج هستند. از آنجایی که از نظر هندسی،  ها حداکثر دو نقطه را می‌توانند ثابت نگه دارند، پس برای  های زوج به صورت  دور به طول ۲ و برای  های فرد به صورت  دور به طول ۲ می‌باشند. در نتیجه داریم

 

 

حال فرض کنیم  عددی زوج باشد. در این صورت  جایگشتی فرد و  جایگشتی زوج می‌باشد. از طرفی  ها برای  های زوج، جایگشتی زوج و برای  های فرد، جایگشتی فرد هستند. در نتیجه  ها برای  های زوج، جایگشتی زوج و برای  های فرد، جایگشتی فرد هستند. چون از نظر هندسی،  ها حداکثر دو نقطه را می‌توانند ثابت نگه دارند، پس برای  های زوج به صورت  دور به طول ۲ و برای  های فرد به صورت  دور به طول ۲ می‌باشند. در نتیجه داریم

 

 

حال فرض کنیم . چون  به صورت حاصلضرب  دور به طول ۲ می‌باشد داریم . با توجه به اینکه از نظر هندسی، ها حداکثر دو نقطه را می‌توانند ثابت نگه دارند، پس باید به صورت حاصلضرب  دور به طول ۲ باشند. در نتیجه ساختار دوری یکسان با  خواهند داشت.

اکنون قضیه اصلی این مقاله را بیان می‌کنیم.

 

قضیه ۵.۳: فرض کنید  گروه‌ جایگشتی دووجهی  باشد که روی مجموعه  به صورت انتقالی عمل می‌کند. در این صورت  با حرکت کراندار  می‌باشد و با نمادهای گزاره فوق داریم:

 و ، که در آن. همچنین

الف) اگر ، آن‌گاه

 

 

ب) اگر ، آن‌گاه .

 

برهان: با توجه به ساختار دوری اعضای گروه دووجهی  ذکر شده در گزاره ۴.۳ و انتخاب مجموعه  متشکل از هر نقطه دوم از هر دور از این اعضا، مقادیر حرکت اعضای این گروه تعیین می‌گردند. همچنین چون برای هر زیرمجموعه  از  داریم ، پس  با حرکت کراندار  می‌باشد و قضیه ثابت می‌گردد.

در انتها حرکت حالت خاصی از گروه‌های دووجهی را بررسی می‌کنیم.

 

مثال ۶.۳: فرض کنید  عددی اول، فرد و  گروه‌ جایگشتی دووجهی  باشد که روی مجموعه  به صورت انتقالی عمل می‌کند. در این صورت با توجه به اینکه  ها از مرتبه  هستند، پس هر یک از آن‌ها به صورت یک دور به طول  می‌باشند. یعنی حرکت این اعضا برابر با  می‌باشد. از طرفی ها از مرتبه ۲ هستند و هر یک از این  عضو، به صورت  دور به طول ۲ می­باشند. پس حرکت این اعضا نیز برابر با  می‌باشد. در نتیجه چون حرکت تمامی عناصر غیر همانی این گروه با هم برابر است، لذا این گروه با حرکت یکسان  می‌باشد.

 

نتيجه­گيري

در این مقاله نشان داده شد که گروه‌ جایگشتی دووجهی  روی مجموعه  به صورت انتقالی عمل می‌کند. در ادامه ساختار دوری اعضای این گروه تعیین گردید و با توجه به آن، حرکت اعضای این گروه مشخص شد. در انتها نشان داده شد که گروه جایگشتی دووجهی  روی مجموعه  دارای حرکت یکسان می‌باشد.

 

 

 

فهرست منابع

 

[1] M. Alaeiyan, H.A. Tavallaee. Permutation groups with the same movement. Carpathian J. Math. 25(2):147-156 (2009)

 

[2] D. Gorenstein. Finite Groups. Second Edition. Chelsea, New York (1980)

 

[3] A. Hassani, M. Khayaty (Alaeiyan), E.I. Khukhro, C.E. Praeger. Transitive permutation groups with bounded movement having maximal degree. J. Algebra 214:317-337 (1999)

 

[4] C.E. Praeger. On permutation groups with bounded movement. J. Algebra 144:436-442 (1991)

 

 

        

---

[1] 1. C.E. Praeger

---