Solving Linear and Non-Linear Twelfth-Order Boundary Value Problems by Tension Spline Method

Subject Areas : Statistics

Karim Farajeyan ¹ , Nader Rafati Maleki ²

1 - Department of Mathematics, Bonab Branch, Islamic Azad University, Bonab, Iran
2 - Department of Mathematics, Tabriz Branch, Islamic Azad University, Tabriz, Iran

Received: 2018-12-29 Accepted : 2019-12-30 Published : 2024-01-18

Keywords: اسپلاین کششی, فرمول بندی, بررسی همگرایی, مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم,

Abstract :

Tension spline functions developed for numerical solution of linear and non-linear twelfth-order certain boundary-value problems. Boundary formulas are developed to be associated with the method. Truncation errors, Convergence analysis of the method has been discussed. The present methods have been tested on four examples, to illustrate practical usefulness of our method. در این مقاله حل عددی دسته های خاصی از مسائل مقدار مرزی معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوازدهم را با استفاده از اسپلاین کششی مورد بحث و بررسی قرار داده ایم. فرمول بندی اسپلاین 15- کششی را ارایه می نماییم و رابطه سازگاری این گونه اسپلاین را بدست آورده ایم تا از این رابطه برای حل مسائل استفاده نمائیم . دسته هایی از روش های جدید با مراتب مختلف را ایجاد کردیم، همگرایی روش های حاصله را اثبات و کاربرد روش ها را روی مسائل مختلف آزمایش کرده و بدین طریق کاربرد مفید روش های حاصله را در عمل نشان داده ایم. شرایط مرزی را برای روش ها فرمول بندی کرده و خطای برشی روش های موجود را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. با استفاده از رابطه مفیدی که از اسپلاین کششی بدست آوردیم مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم را حل کردیم، نتایج روش های مختلف را با روش های موجود محققین دیگر مقایسه کرده و رجحان و برتری روش های جدید را نشان داده ایم.

References:

[1] Chandrasekhar, S., 1961, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Clarendon press, New York, 1981. Oxford.

[2] Siddiqi, S.S., Akram, G., 2008, Solutions of 12th order boundary value problems using non polynomial spline technique, Appl. Math. Comput., 199(2), 559-571.

[3] Siddiqi, S.S., Twizell, E.H., 1997, Spline solutions of linear twelfth-order boundary value problems, J. Comput. Appl. Math., 78, 371-390.

[4] Siddiqi, S.S., Akram, G., 2006, Solutions of twelfth order boundary value problems using thirteen degree spline, Appl. Math. Comput., 182, 1443-1453.

[5] Boutayeb, A., and Twizell, E.H., 1991, Finite-difference methods for twelfth-order boundary-value problems, J. Comput. Appl. Math., 35, 133-138.

[6] Noor, M.A., and Mohyud-Din, S.T., 2010, Variational iteration method for solving twelfth-order boundary-value problems using Hes polynomials, Computational Mathematics and Modeling, 21(2), 239-251.

[7] Ravi Kanth, A.S.V., Aruna, K., 2009, Variational iteration method for twelfth-order boundaryvalue problems, Computers and Mathematics with Applications, 58, 2360-2364.

[8] Wazwaz, A.M., 2000, Approximate solutions to boundary value problems of higher order by the modified decomposition method, Comput. Math. Appl., 40, 679-691.
[9] Moosaei, H., Ketabchi, S., Fooladi, M.T., 2019, Augmented Lagrangian method for solving absolute value equation and its application in two-point boundary value problems, Journal of New Research in Mathematics, 5(20), 5-14.

[10] Alizadeh Nazarkandi, H., 2016, Properties of eigenvalue function, Journal of New Research in Mathematics, 2(7), 97-105.

[11] Hossein Aminikhah, h., Alavi, S.J., 2019, A new approach to using the cubic B-spline functions to solve the Black-Scholes equation, Journal of New Research in Mathematics, 5(18), 71-80.

[12] Peykani, P., Mohammadi, E., Emrouznejad, A., Pishvaee, M.S., Rostamy-Malkhalifeh, M., 2019, Fuzzy data envelopment analysis: an adjustable approach, Expert Systems with Applications, 136, 439-452.

[13] Peykani, P., Mohammadi, E., Pishvaee, M.S., Rostamy-Malkhalifeh, M., and Jabbarzadeh, A., 2018, A novel fuzzy data envelopment analysis based on robust possibilistic programming: possibility, necessity and credibility-based approaches, RAIRO-Operations Research, 52(4), 1445-1463.

[14] Peykani, P., Mohammadi, E., Rostamy-Malkhalifeh, M., and Hosseinzadeh Lotfi, F., 2019, Fuzzy data envelopment analysis approach for ranking of stocks with an application to Tehran stock exchange, Advances in Mathematical Finance and Applications, 4(1), 31-43.

[15] Henrici, P., 1961, Discrete variable methods in ordinary differential equations, Wiley, New York.
[16] Usmani, R.A., and Warsi, S.A., 1980, Quintic spline solutions of boundary value problems, Comput. Math. Appl., 6, 197-203.

[17] Usmani, R.A., 1987, Applied linear algebra, Marcel Dekker, New York.

Full-Text:



 

 

 

حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم خطی و غیر خطی با استفاده از اسپلاین کششی

 

 

 

 

 

 

چکیده 

در این مقاله حل عددی دسته های خاصی از مسائل مقدار مرزی معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوازدهم را با استفاده از اسپلاین کششی مورد بحث و بررسی قرار داده ایم. فرمول بندی اسپلاین 15- کششی را ارایه می نماییم و رابطه سازگاری این گونه اسپلاین را بدست آورده ایم تا از این رابطه برای حل مسائل استفاده نمائیم . دسته هایی از روش های جدید با مراتب مختلف را ایجاد کردیم، همگرایی روش های حاصله را اثبات و کاربرد روش ها را روی مسائل مختلف آزمایش کرده و بدین طریق کاربرد مفید روش های حاصله را در عمل نشان داده ایم. شرایط مرزی را برای روش ها فرمول بندی کرده و خطای برشی روش های موجود را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. با استفاده از رابطه مفیدی که از اسپلاین کششی بدست آوردیم مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم را حل کردیم، نتایج روش های مختلف را با روش های موجود محققین دیگر مقایسه کرده و رجحان و برتری روش های جدید را نشان داده ایم.

 

واژه‌های کليدي: مسائل مقدار مرزی مرتبه داوازدهم، اسپلاین کششی، فرمول بندی، بررسی همگرایی. 

 

 

 

 

1-       مقدمه

در این مقاله مساله مقدار مرزی مرتبه دوازدهم را به صورت زیر در نظر می گیریم:

 

                                                  (1)

با شرایط مرزی       

(2)              

که  و  برای  ضرایب حقیقی و  و  توابع پیوسته در بازه  هستند.

این نوع از مسائل مقدار مرزی مراتب بالاتر در مدل سازی از جریان ویسکوالاستیک و شاخه های دیگر از ریاضی، فیزیک و علوم مهندسی ناشی می شوند.

معادلات دیفرانسیل مراتب بالاتر در زمینه های زیادی به وجود می آیند برای مثال زمانیکه یک لایه ی افقی نا محدود از سیال، از زیر حرارت داده می شود و یک میدان مغناطیسی یکنواخت نیز در سراسر سیال در همان مسیر بکار گرفته می شود در این حالت ناپایداری (بی ثباتی) شروع می شود، زمانی که بی ثباتی به عنوان همرفت عادی (معمولی) شروع شود توسط مسائل مقدار مرزی مرتبه دهم مدل سازی می شود. زمانی که بی ثباتی در حد بالاتر باشد، توسط مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم مدل سازی می شود]1[.

برخی از روش هایی که برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم توسط صدیقی و همکارانش در سالهای1997 تا 2008، به کار برده شده، اسپلاین غیر چند جمله ای و اسپلاین های درجه دوازدهم و سیزدهم می باشد]2-4[. و همچنین روش هایی مانند روش تفاضلات متناهی، روش تکرار تغییرات، روش اصلاح شده آدومیان، ] 5-8 [ برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم به کار برده شده است. موسائی و همکارانش ]9[ روش لاگرانژ بهبود یافته را برای حل مسائل مقدار مرزی دو نقطه ای به کار گرفته اند. علیزاده ]10[ خواص تابع مقدار ویژه را مورد مطالعه قرار داده است. 

در سالهای اخیر با افزایش تقاضا برای ابزار مالی و مساله قیمت گذاری قراردادها، پژوهشگران متعددی، روشهای عددی و تحلیلی را برای حل این مسائل را مورد توجه قرار داده اند]11-14[. 

ما در این مقاله به دنبال ارائه روشی هستیم که مشکلات و موانع آن برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم کم شده و همچنین به جواب تحلیلی، همگرا باشد و الگوریتمی که تعداد عملیات لازم را بهینه نماید، می توان، از اسپلاین اسپلاین کششی استفاده کرد. و سعی داریم با استفاده از اسپلاین کششی ، مسائل مقدار مرزی خطی و غیر خطی را حل کنیم و با ایجاد روش های مناسب برای تقریب شرایط مرزی همراه با مسائل مقدار مرزی، روش هایی با دقت بالا و با مراتب همگرایی بالاتر ارائه دهیم.

برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم، درصدد تعریف و ایجاد روش هایی با مراتب مختلف مبتنی بر اسپلاین 15- کششی خاصی هستیم که جواب  این مسائل را در بازه ی، تقریب زند. لذا بازه ی ، به  زیر بازه ی مساوی، با استفاده از نقاط  ، و با طول گام  افراز می کنیم. برای دسترسی به این هدف تابع اسپلاین را در این مقاله به صورت زیر در نظر می گیریم:

 

توجه شود که   می تواند حقیقی یا مختلط باشد.

در این مقاله در بخش 2 رابطه مفید اسپلاین 15- کششی را بدست  می آوریم تا از این رابطه مفید برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم استفاده نمائیم. در بخش 3 فرمول بندی شرایط مرزی و در بخش 4 خطای برشی بدست می آید و در بخش 5 آنالیز همگرایی و سرانجام در بخش 6 نتایج عددی بحث و بررسی می گردد.

 

 

 

 

2 - اسپلاین 15- کششی

تابع اسپلاین 15- کششی،  ، را برای درونیابی تابع  در زیر بازه ی ]  و  به صورت زیر در نظر می گیریم:

                           (3)

که  برای  و  ضرایب نامعین و حقیقی هستند و با نمایش روابط ذیل  برای اسپلاین 15- کششی، داریم:

 

 

 

                 (4)

چون می خواهیم رابطه ای بین مشتق مرتبه دوازدهم اسپلاین کششی   و تابع درونیاب  را بدست آوریم به همین دلیل از مشتقات مراتب دوم، چهارم، ششم، هشتم، دهم، دوازدهم و چهاردهم در شرایط (4) استفاده می کنیم. با استفاده از شرایط (4)، ضرایب (3) را می توان بدست آورد و با استفاده از پیوستگی مشتق مرتبه اول ، سوم، پنجم، هفتم، نهم، یازدهم و سیزدهم یعنی: 

  ، 

رابطه نهایی بین مشتق مرتبه دوازدهم  و مقادیر تابع درونیابی شده  که  را بدست می آوریم. در نتیجه خواهیم داشت:

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       (5)

بطوریکه

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

برای رابطه ی (5)، اگر  ، از طرفی  بنابراین   آنگاه خواهیم داشت:

 

 

 

 

 

 

با این مقادیر، ضرایب رابطه (5) رابطه ای خواهد بود که از اسپلاین چند جمله ای درجه پانزدهم بدست خواهد آمد. برای گسسته سازی معادله (1) با رابطه اسپلاین (5)، بازه   را به تعداد   نقطه،  که  با طول گام  که به فاصله مساوی از هم قرار دارند افراز می کنیم، فرض می کنیم:

 

و با جایگذاری در رابطه (5) از اسپلاین 15- کششی،  معادله ،  مجهولی  که  به صورت زیر را بدست می آید:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         (6)

 

 

3 -  فرمول بندی مرزی

سیستم (6) شامل  معادله و  مجهول است، برای بدست آوردن جواب، برای این سیستم، نیاز به چهارده معادله دیگر داریم، بنابه شرایط مرزی (2)، دو معادله  و هستند و دوازده معادله دیگر را با استفاده از (2)، به صورت زیر تعریف می کنیم:

 

 

 

 

 

 

 

 

 (7)

 

اگر با سری تیلور معادله های (7) را بسط دهیم،  به کمک الگوریتم زیر و نرم افزار مسمتیکا می توان ضرایب مجهول در رابطه (7) را به بدست آورد. بنابراین:

 

(8)

که  ،  و .

الف) اگر در سیستم (8) به جای  و  قرار دهیم، ضرایب مجهول در معادله های  در (7) بدست می آید.

ب) اگر در سیستم (8) به جای  و  قرار دهیم، ضرایب مجهول در معادله های  در (7) بدست می آید.

ج) اگر در سیستم (8) به جای  و  و  قرار دهیم، ضرایب مجهول در معادله های  در (7)بدست می آید.

ح) اگر در سیستم (8) به جای  و       قرار دهیم، ضرایب مجهول در معادله های  در (7) بدست می آید.

خ) اگر در سیستم (8) به جای  و  و  قرار دهیم، ضرایب مجهول در معادله های  در (7) بدست می آید.

د) اگر در سیستم (8) به جای  و    قرار دهیم، ضرایب مجهول در معادله های  در (7) بدست می آید.

 

4 - خطای برشی

برای بدست آوردن کلاسی از روش ها، خطای برشی رابطه (5) را با استفاده از سری تیلور حول  بسط می دهیم که بعداز بسط دادن و ساده کردن خواهیم داشت:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            (9)

که

 

 

 

 

 

 

 

 

کلاسی از روشها:

4-1 روش مرتبه دوم  :

اگر 

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و از طرفی چون مساله مقدار مرزی از مرتبه دوازدهم است (در سیستم (6)، مشتق مرتبه دوازدهم یعنی  را تقریب می زنیم) بنابراین نتیجه می گیریم که دقت روش   می شود و روشی از مرتبه دوم، با خطای برشی  ، خواهیم داشت. 

4-2 روش مرتبه چهارم :

اگر

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و از طرفی چون مساله مقدار مرزی از مرتبه دوازدهم است بنابراین نتیجه می گیریم که دقت روش   می شود و روشی از مرتبه چهارم، با خطای برشی ، خواهیم داشت.

4-3 روش مرتبه ششم  :

اگر 

 

 

 

  در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود، بنابراین نتیجه می گیریم که دقت روش   می شود و روشی از مرتبه ششم، با خطای برشی  ، خواهیم داشت.

4-4 روش مرتبه هشتم   :

اگر

 

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و دقت روش   می شود و روشی از مرتبه هشتم، با خطای برشی  ،خواهیم داشت.

4-5 روش مرتبه دهم  :

اگر

 

 

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و دقت روش   می شود و روشی از مرتبه دهم، با خطای برشی  ، خواهیم داشت.

4-6 روش مرتبه دوازدهم  :

اگر

 

 

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و دقت روش   می شود و روشی از مرتبه دوازدهم، با خطای برشی

  ، خواهیم داشت.

4-7 روش مرتبه چهاردهم  :

اگر

 

 

 

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و دقت روش   می شود و روشی از مرتبه چهاردهم، با خطای برشی  خواهیم داشت.

4-8 روش مرتبه شانزدهم  :

اگر 

 

 

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و دقت روش   می شود و روشی از مرتبه شانزدهم، با خطای برشی ، خواهیم داشت.

 

4-9 روش مرتبه هجدهم  :

اگر

 

 

 

 

 

 

 

در نظر بگیریم، ضرایب  ،  ،...،   حذف می شوند و لذا خطای برشی روش   می شود و دقت روش   می شود و روشی از مرتبه هجدهم، با خطای برشی ، خواهیم داشت.

 

 

5 - آنالیز همگرایی

در این بخش همگرایی روش مرتبه شانزدهم را بررسی می کنیم. سیستم (6) همراه با شرایط مرزی (7) می توان به فرم ماتریسی زیر نوشت:

                                   (10)

که  و ماتریس های  ، از مرتبه  ، و به صورت زیر تعریف می کنیم: 

 

 

 

      

که

 

 

 

 

 

  (11)

 

(12)

و  که  یک ماتریس از مرتبه  است.

فرض می کنیم:

 (13)                        

که بردار  جواب دقیق و  خطای برشی هستند. از (10) و (13) داریم:

 (14)                 

که     و  برای  .برای اثبات معکوس پذیری  که   ، داریم:

 

 

 

      

و بنابه ]15[ داریم:

                               (15)

و همچنین با استفاده از ]16[ داریم:

                                 (16)

در نتیجه به وضوح ماتریس  نامنفرد و همچنین  و  یک عدد مثبت است ( نرم   است ).

لم 5-1.  اگر  یک ماتریس مربع از مرتبه  و   باشد  وجود دارد و .

اثبات: ]17 [

لم   5-2. ماتریس  در (14) نامنفرد است هرگاه  که و                    .

( و  نرم   است).

اثبات: می دانیم

  بنابراین بنابه لم 5-1،  معکوس پذیر است و همچنین بنابه لم 5-1 داریم :

 (17)                       

با استفاده از (11)،  خواهد بود و همچنین   که  در این صورت با استفاده از (17) بدست می آوریم:

 

قضیه5-1. فرض کنیم  جواب دقیق مساله مقدار مرزی (1) با شرایط مرزی (2) و  برای  جواب تقریبی بدست آمده از حل سیستم غیر خطی (6) و (7) باشد در این صورت داریم:

 

اثبات: معادله (14) را می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

 

   

 

بنابراین اگر  آنگاه داریم:

                        (18)

همچنین داریم:

 (19)         

که  و از طرفی

 

 

 

 

 

 

از نابرابری های (18)، (19) و   ،  و  داریم:

 

 

6- نتایج عددی

در این بخش روش (6)، برای حل مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم، به کار می بریم و با انتخاب  و  های مختلف از رابطه (9) روشهایی از مرتبه های  برای  خواهیم داشت. مثالهای 1-4 را با روشی که در این مقاله معرفی کردیم، حل کرده و به کمک جواب دقیق  و تقریبی  ماکزیمم خطا، یعنی  را به ازای  های مختلف در نقاط گره ای محاسبه می کنیم. ماکزیمم خطای بدست آمده برای روشهای مرتبه های دوم، ششم، دهم، چهاردهم و هجدهم در جدولهای 1تا 7 لیست کرده ایم. ماکزیمم خطای بدست آمده در مثالهای 1تا 4 را با روشهای دیگر مقایسه کردیم ]3، 5 [. همچنین برای مثالهای  1تا  4 شکلی از جواب دقیق و تقریبی را با طول گام های مختلف  رسم کردیم.

 

مثال 1. مساله مقدار مرزی خطی زیر را در نظر می گیریم:

 

 

 

 

 

 

 

جواب دقیق این مساله  است.

این مثال را با طول گام های  به روش مرتبه های دوم، ششم، دهم، چهاردهم و هجدهم حل کرده و ماکزیمم خطای مطلق را محاسبه و با روش مرجع ]3 [ مقایسه کردیم، نتایج در جدول های 1 و 2 درج شده است.

مثال 2. مساله مقدار مرزی خطی زیر را در نظر می گیریم:

 

 

با شرایط مرزی

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جواب دقیق این مساله  است.

این مثال را با طول گام های  به روش مرتبه های دوم، ششم، دهم، چهاردهم و هجدهم حل کرده و ماکزیمم خطای مطلق را محاسبه و با روش مرجع ]3[ مقایسه کردیم، نتایج در جدول های 3 و 4 درج شده است.

مثال 3. مساله مقدار مرزی غیر خطی زیر را در نظر می گیریم  ]6، 8[ :

 

با شرایط مرزی

 

 

 

 

جواب دقیق این مساله  است.

این مثال را با طول گام های  به روش مرتبه های دوم، ششم، دهم، چهاردهم و هجدهم حل کرده و ماکزیمم خطای مطلق را محاسبه و نتایج در جدول 5 درج شده است.

مثال 4.  مساله مقدار مرزی غیر خطی زیر را در نظر می گیریم:

 

 

با شرایط مرزی

 

 

 

جواب دقیق این مساله  است.

این مثال را با طول گام های  به روش مرتبه های دوم، ششم، دهم، چهاردهم و هجدهم حل کرده و ماکزیمم خطای مطلق را محاسبه و با روش مرجع ]5[ مقایسه کردیم، نتایج در جدول های 6 و 7 درج شده است.

 

نتیجه‌گیری

با توجه به مطالب ارائه شده در این مقاله، جواب های تقریبی برای مسائل مقدار مرزی مرتبه دوازدهم، دو نقطه ای را به ترتیب با استفاده از اسپلاین پانزده کششی بدست آوردیم. همگرایی روش را نیز بحث و بررسی کرده و روشی با همگرایی مراتب بالاتر ایجاد کرده ایم. همچنین نشان دادیم که روند اسپلاین کششی با اعمال شرایط مرزی مناسب، با کاهش چشم گیر خطا از کارایی بالاتری نسبت به روش های موجود دیگر آن برخوردار است. و همچنین نشان دادیم که نتایج محاسبه شده با استفاده از این روش دارای دقت کافی و کارایی مطلوب می باشند.

فهرست منابع

[1] Chandrasekhar, S., 1961, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Clarendon press, New York, 1981. Oxford.

[2] Siddiqi, S.S., Akram, G., 2008, Solutions of 12th order boundary value problems using non polynomial spline technique, Appl. Math. Comput., 199(2), 559-571.

[3] Siddiqi, S.S., Twizell, E.H., 1997, Spline solutions of linear twelfth-order boundary value problems, J. Comput. Appl. Math., 78, 371-390.

[4] Siddiqi, S.S., Akram, G., 2006, Solutions of twelfth order boundary value problems using thirteen degree spline, Appl. Math. Comput., 182, 1443-1453.

[5] Boutayeb, A., and Twizell, E.H., 1991, Finite-difference methods for twelfth-order boundary-value problems, J. Comput. Appl. Math., 35, 133-138.

[6] Noor, M.A., and Mohyud-Din, S.T., 2010, Variational iteration method for solving twelfth-order boundary-value problems using Hes polynomials, Computational Mathematics and Modeling, 21(2), 239-251.

[7] Ravi Kanth, A.S.V., Aruna, K., 2009, Variational iteration method for twelfth-order boundaryvalue problems, Computers and Mathematics with Applications, 58, 2360-2364.

[8] Wazwaz, A.M., 2000, Approximate solutions to boundary value problems of higher order by the modified decomposition method, Comput. Math. Appl., 40, 679-691.

[9] Moosaei, H., Ketabchi, S., Fooladi, M.T., 2019, Augmented Lagrangian method for solving absolute value equation and its application in two-point boundary value problems, Journal of New Research in Mathematics, 5(20), 5-14.

[10] Alizadeh Nazarkandi, H., 2016, Properties of eigenvalue function, Journal of New Research in Mathematics, 2(7), 97-105.

[11] Hossein Aminikhah, h., Alavi, S.J., 2019, A new approach to using the cubic B-spline functions to solve the Black-Scholes equation, Journal of New Research in Mathematics, 5(18), 71-80.

[12] Peykani, P., Mohammadi, E., Emrouznejad, A., Pishvaee, M.S., Rostamy-Malkhalifeh, M., 2019, Fuzzy data envelopment analysis: an adjustable approach, Expert Systems with Applications, 136, 439-452.

[13] Peykani, P., Mohammadi, E., Pishvaee, M.S., Rostamy-Malkhalifeh, M., and Jabbarzadeh, A., 2018, A novel fuzzy data envelopment analysis based on robust possibilistic programming: possibility, necessity and credibility-based approaches, RAIRO-Operations Research, 52(4), 1445-1463.

[14] Peykani, P., Mohammadi, E., Rostamy-Malkhalifeh, M., and Hosseinzadeh Lotfi, F., 2019, Fuzzy data envelopment analysis approach for ranking of stocks with an application to Tehran stock exchange, Advances in Mathematical Finance and Applications, 4(1), 31-43.

[15] Henrici, P., 1961, Discrete variable methods in ordinary differential equations, Wiley, New York.

[16] Usmani, R.A., and Warsi, S.A., 1980, Quintic spline solutions of boundary value problems, Comput. Math. Appl., 6, 197-203.

[17] Usmani, R.A., 1987, Applied linear algebra, Marcel Dekker, New York.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول ها:

 

 

 

جدول 1 : ماکزیمم خطای مطلق مثال 1

22
44
88
176
352

 

جدول 2 : ماکزیمم خطای مطلق مثال 1(22n=)

Method in [3] for

 

جدول 3 : ماکزیمم خطای مطلق مثال 2

22
44
88
176
352
704

 

جدول 4 : ماکزیمم خطای مطلق مثال 2 (22n=)

Method in [3] for

 

جدول5 : ماکزیمم خطای مطلق مثال 3

22
44
88
176

 

 

 

 

جدول 6 : ماکزیمم خطای مطلق مثال 4

32
64
128
256
512

 

جدول7 : ماکزیمم خطای مطلق مثال 4

	Presented method	Second-order method in [5]	Fourth-order method in [5]
32
64

 

 

شکل 1 : مقایسه جواب دقیق و جواب تقریبی برای  ، مثال 1

 

 

شکل 2 : مقایسه جواب دقیق و جواب تقریبی برای  ، مثال 2

 

 

شکل 3 : مقایسه جواب دقیق و جواب تقریبی برای  ، مثال 3

 

شکل 4 : مقایسه جواب دقیق و جواب تقریبی برای  ، مثال 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

---