مدول کانونی نیم گروه های آفین کوهن- مکالی

محورهای موضوعی : آمار

راحله جعفری ¹ (استادیار، موسسه تحقیقات ریاضی دکتر مصاحب، دانشگاه خوارزمی، تهران، ایران)

تاریخ دریافت : 1398/01/28 تاریخ پذیرش : 1399/06/01 تاریخ انتشار : 1399/10/01

کلید واژه: Apery set, canonical module, simplicial affine semigroup,

چکیده مقاله :

فرض کنیم Sیک نیم گروه آفین سادکی از فضای 𝑟 بعدی N^r، وR=K[[S]] حلقه متناظر با آن باشند. در نتیجه R یک حلقه نوتری با بعد کرول 𝑟 است. در حالتr=1 ، S یک نیم گروه عددی وR حلقه ای کوهن-مکالی است. در این هنگام، هر مجموعه اَپری 𝑆 متناهی است و تعداد اعضای ماکسیمال آن نسبت به رابطه ترتیب جزئی ≼_S ، با نوع حلقه 𝑅 برابر است. در حالت کلی، اگر بعد نیم گروه بزرگتر از یک باشد، مجموعه های اَپری لزوماً متناهی نیستند. در این مقاله، برای نیم گروه سادکی S ، r مجموعه اَپری معرفی می‌کنیم که اشتراک آن‌ها، AP(S)، مجموعه‌ای متناهی است و تعداد اعضای ماکسیمال آن نسبت به رابطه ترتیب جزئی ≼_S، نوع حلقه R را مشخص می‌کند. علاوه بر این، مجموعه مولدی برای مدول کانونی حلقه R ارائه می‌دهیم که به راحتی قابل محاسبه است. در حالت نیم گروه‌های عددی، AP(S) با یک مجموعه اَپری برابر خواهد بود که این نتیجه، تعمیم نتایج شناخته شده در حالت یک بعدی است.

چکیده انگلیسی:

Let S be a simplicial affine semigroup of dimension r and R=K[[S]] be the semigroup ring assigned to S, where K is a field. Then R is a Noetherian ring of krull dimension r. When r=1, S is a numerical semigroup whose assigned semigroup ring is a one dimensional Cohen-Macaulay ring. In this case, all each set of S is a finite set, and the number of its maximal elements with respect to the natural relation, is equal to the type of R. But in general, when r>1, the Apery sets of S are not necessarily finite. In this paper, we introduce r Apery sets of S whose intersection is a finite set and determines the type and the canonical module of R. This set coincides with an Apery set, when r=1. In particular, we extend the known facts about canonical module of numerical semigroups to all Cohen-Macaulay simplicial affine semigroups.

منابع و مأخذ:

[1] J. C. Rosales, P. A. Garcίa-Sánchez, Finitely generated commutative monoids. Nova Science Publishers, Inc., Commack, NY, 1999.

 

[2] P. A. Garcίa-Sánchez and J. C. Rosales, Numerical Semigroups, Developments in

Mathematics, 20. Springer, New York, 2009.

 

[3] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995.

 

[4] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

 

[5] J. C. Rosales and P. A. Garcίa-Sánchez, On Cohen-Macaulay and Gorenstein simplicial affine semigroups, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (2) 41 (1998), no. 3, 517537.

 

[6] S. Goto, N. Suzuki and K. Watanabe, On affine semigroup rings, Japanese Journal of Mathematics (1976), no. 1, 1-12.

 

[7] Y. Aoyama, Some basic results on canonical modules, Kyoto Journal of Mathematics, 23 (1983), no.1, 85-49.