حل عددی مسائل اشتورم-لیوویل با توابع کاردینال چبیشف

محورهای موضوعی : آمار

محمد شهریاری ¹ (گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه مراغه، مراغه، ایران)
بهزاد نعمتی سرای ² (دانشکده ریاضی، دانشگاه تحصیلات تکمیلی علوم پایه زنجان، زنجان، کدپستی ،٤٥١٣٧-٦٦٧٣١ایران)
فیروز پاشائی ³ (گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه مراغه، مراغه، ایران)

تاریخ دریافت : 1396/10/30 تاریخ پذیرش : 1397/07/02 تاریخ انتشار : 1397/12/01

کلید واژه: Sturm-Liouville problem, Chebyshev polynomial, Chebyshev cardinal function, Operational matrix of derivati,

چکیده مقاله :

در این مقاله، هدف اصلی ارائه‌ی یک روش عددی نوین برای تقریب مقادیر ویژه و توابع ویژه‌ی در حل مسأله‌ی اشتورم-لیوویل منظم است. به عنوان یک هدف راهبردی، ساختار توابع کاردینال چبیشف مبتنی بر چندجمله­ای­های چبیشف نوع اول بیان و بررسی می­شود. شیوه‌ی محوری کار، تقلیل مسأله‌ی اشتورم-لیوویل به یک دستگاه معادلات جبری است که نیازمند به کارگیری ماتریس عملیاتی مشتق خواهد بود. حل دستگاه معادلات جبری منجر به تقریب عددی مقادیر ویژه و توابع ویژه مسأله اصلی می­گردد. ارائه‌ی مثال‌های عددی عملکرد روش و اهمیت آن را نمایان‌تر می‌سازد.

چکیده انگلیسی:

In this manuscript, a numerical technique is presented for finding the eigenvalues of the regular Sturm-Liouville problems. The Chebyshev cardinal functions are used to approximate the eigenvalues of a regular Sturm-Liouville problem with Dirichlet boundary conditions.These functions defined by the Chebyshev function of the first kind. By using the operational matrix of derivative the problem is reduced to a set of algebraic equation. Finally we use some numerical examples to show that this method include to demonstrate the validity and applicability of technique.

منابع و مأخذ:

1.  Bujurke, N., C. Salimath, and S. Shiralashetti, Computation of eigenvalues and solutions of regular Sturm–Liouville problems using Haar wavelets. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008. 219(1): p. 90-101.

2.  Hille, E., Lectures on ordinary differential equations. 1969.

3.  Freiling, G. and V.A. Yurko, Inverse Sturm-Liouville problems and their applications. 2001: NOVA Science Publishers New York.

4.  Condon, D., Corrected finite difference eigenvalues of periodic Sturm–Liouville problems. Applied numerical mathematics, 1999. 30(4): p. 393-401.

5.  Khmelnytskaya, K., H. Rosu, and A. González, Periodic Sturm–Liouville problems related to two Riccati equations of constant coefficients. Annals of Physics, 2010. 325(3): p. 596-606.

6.  Jokar, M., M. Lakestani, and M. Shahriari, Computation of half-eigenvalues periodic sturm-liouville problem using trigonometric wavelets. International Journal of Nonlinear Science, 2012. 13(4): p. 495-504.

7.  Yücel, U., Approximate Eigenvalues of Periodic Sturm-Liouville Problems Using Differential Quadrature Method. Applied Mathematical Sciences, 2007. 1(25): p. 1217-1229.

8.  Ghelardoni, P., G. Gheri, and M. Marletta, Spectral corrections for Sturm–Liouville problems. Journal of computational and applied mathematics, 2001. 132(2): p. 443-459.

9.  Ledoux, V., M. Van Daele, and G.V. Berghe, Efficient computation of high index Sturm–Liouville eigenvalues for problems in physics. Computer Physics Communications, 2009. 180(2): p. 241-250.

10.  El-Daou, M.K. and N.R. Al-Matar, An improved Tau method for a class of Sturm–Liouville problems. Applied Mathematics and Computation, 2010. 216(7): p. 1923-1937.

11.  Altıntan, D. and Ö. Uğur, Variational iteration method for Sturm–Liouville differential equations. Computers & Mathematics with Applications, 2009. 58(2): p. 322-328.

12.  El-Gamel, M., Numerical comparison of sinc-collocation and Chebychev-collocation methods for determining the eigenvalues of Sturm–Liouville problems with parameter-dependent boundary conditions. SeMA Journal, 2014. 66(1): p. 29-42.

 

13.  Lakestani, M. and B.N. Saray, Numerical solution of telegraph equation using interpolating scaling functions. Computers & Mathematics with Applications, 2010. 60(7): p. 1964-1972.

14.  Chen, L. and H.-P. Ma, Approximate solution of the Sturm–Liouville problems with Legendre–Galerkin–Chebyshev collocation method. Applied Mathematics and Computation, 2008. 206(2): p. 748-754.

15.  Dehghan, M. and M. Lakestani, The use of Chebyshev cardinal functions for solution of the second‐order one‐dimensional telegraph equation. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2009. 25(4): p. 931-938.

16.  Lakestani, M. and M. Dehghan, Numerical solution of Riccati equation using the cubic B-spline scaling functions and Chebyshev cardinal functions. Computer Physics Communications, 2010. 181(5): p. 957-966.

17.  Trif, D., Matlab package for the Schrödinger equation. Journal of Mathematical Chemistry, 2008. 43(3): p. 1163-1176.

18.  Miller, K. R., Introduction to Differential Equations.  1991: Prentice Hall.-