توزیع وایبول-وایبول: برآورد پارامترها تحت سانسور فزایندۀ پیوندی سازوار نوع 2 و پیش‌بینی واحدهای سانسور شده

الموضوعات :

علی محمد بیرانوند ¹ , اکرم کهنسال ² , رامین کاظمی ³ , فرشین هرمزی نژاد ⁴

1 - گروه ریاضی و آمار، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران
2 - گروه آمار، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین¬المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
3 - گروه آمار، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین¬المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
4 - گروه ریاضی و آمار، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران

تاريخ الإرسال : 09 الخميس , صفر, 1443 تاريخ التأكيد : 04 الإثنين , شعبان, 1443 تاريخ الإصدار : 06 الخميس , رجب, 1445

الکلمات المفتاحية: Weibull-Weibull distribution, Estimation, Censored units, Censored samples,

ملخص المقالة :

هدف این مقاله، بررسی توزیع وایبول-وایبول (WW) تحت سانسور فزایندۀ پیوندی سازوار نوع 2 است. تحت این سانسور، پارامترهای توزیع به روش های کلاسیک و بیزی برآورد می شوند. توزیع مجانبی برآوردگرها و بازه های اطمینانِ مجانبی معرفی می شوند. علاوه براین، دو بازۀ اطمینان بوت استرپ ارائه و برآورد بیزی پارامترها، به دلیل عدم وجود فرم بسته، با استفاده از الگوریتم زنجیر مارکوفی مونت کارلویی (MCMC) و روش لیندلی، تقریب زده می شوند. همچنین، بازۀ اطمینان باورمندی (HPD) پارامترها معرفی می شوند. سپس، با استفاده از چندین روش، واحدهای سانسور شده پیش‌بینی می‌شوند. در نهایت، یک مجموعه دادۀ واقعی تحلیل شده و برآوردهای مختلفِ پیشنهادی توسط مطالعات شبیه‌سازی مقایسه می شوند. - - - - - - - - - - - -- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

المصادر:


[1] Ahmad, Z., Elgarhy, M., and Hamedani, G.G. 2018. A new Weibull-X family of distributions: properties, characterizations and applications. Journal of Statistical Distributions and Applications 5(5): 1-18.

[2] Cramer, E., and Iliopoulos, G. 2010. Adaptive progressive Type-II censoring. Test 19(2): 342-358.

[3] Dempster, A.P., Laird, N.M., and Rubin, D.B. 1977. Maximum likelihood from incomplete data via the em algorithm. Journal of the Royal Statistical Society, Series B 39(1): 1-38.

[4] Efron, B. 1982. The jackknife, the bootstrap and other re-sampling plans. Philadelphia, PA: SIAM, CBMSNSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 34.

[5] Epstein, B. 1954. Truncated life tests in the exponential case. The Annals of Mathematical Statistics 25(3): 555-564.

[6] Hall, P. 1988. Theoretical comparison of bootstrap confidence intervals. Annals of Statistics 16(3): 927-953.

[7] Hashemi, R., and Amiri, L. 2011, Analysis of progressive Type-II censoring in the Weibull model for competing risks data with binomial removals. Applied Mathematical Sciences 5(22): 1073-1087.

[8] Huang, S.R., and Wu, S.J. 2011. Bayesian estimation and prediction for Weibull model with progressive censoring. Journal of Statistical Computation and Simulation 82(11): 1607-1620.
[9] Kaushik, A., Singh, U., and Singh, S.K. 2017. Bayesian Inference for the Parameters of Weibull Distribution under Progressive Type-I Interval Censored Data with Beta-binomial Removals. Communications in Statistics - Simulation and Computation 46(4): 3140-3158.

[10] Kizilaslan, F., and Nadar, M. 2018. Estimation of reliability in a multicomponent stress-strength model based on a bivariate Kumaraswamy distribution. Statistical Papers 59(1): 307-340.

[11] Kizilaslan, F., and Nadar, M. 2016. Estimation and prediction of the Kumaraswamy distribution based on record values and inter-record times. Journal of Statistical Computation and Simulation 86(12): 2471-2493.

[12] Kohansal, A. 2019. On estimation of reliability in a multicomponent stress-strength model for a Kumaraswamy distribution based on progressively censored sample. Statistical Papers 60(6): 2185-2224.

[13] Kohansal, A., and Shoaee, S. 2019. Bayesian and classical estimation of reliability in a multicomponent stress-strength model under adaptive hybrid progressive censored data. Statistical Papers Accepted DOI: 10.1007/s00362-019-01094-y

[14] Lindley, D.V. 1980. Approximate Bayesian methods. Trabajos de Estadistica Y de Investigacion Operativa 31(1): 223-245.

[15] Ng, H.K.T., Kundu, D. and Chan. P.S. 2009. Statistical analysis of exponential lifetimes under an adaptive Type-II progressively censoring scheme. Naval Research Logistics 56(8): 687-698.
[16] Pareek, B., Kundu, D., and Kumar, S. 2009. On progressively censored competing risks data for weibull distributions. Computational Statistics and Data Analysis 53(12), 4083-4094.

[17] Raqab, M.Z., and Nagaraja, H.N. 1995. On some predictors of future order statistics. Metron 53(1-2): 185-204.

[18] Sarhan, A.M., and Al-Ruzaizaa, A. 2010. Statistical inference in connection with the Weibull model using type-II progressively censored data with random scheme. Pakistan Journal of Statistics 26(1): 267-279.

[19] Sultan, K.S., MahMoud, M.R., and Saleh, H.M. 2007. Estimation of parameters of the Weibull distribution based on progressively censored data. International Mathematical Forum 2(41): 2031-2043.

[20] Tse, S.K. and Xiang, L. 2003. Interval estimation for Weibull-distributed life data under type II progressive censoring with random removals. Journal of Biopharmaceutical Statistics 13(1): 1-16.

[21] Tse, S.K., Yang, C., and Yuen, H.K. 2000. Statistical analysis of Weibull distributed lifetime data under Type II progressive censoring with binomial removals. Journal of Applied Statistics 27(8): 1033-1043.

[22] Yuen, H.K., and Tse S.K. 1996. Parameter estimation for Weibull distributed lifetimes under progressive censoring with random removals. Journal of Statistical Computation and Simulation 55(1-2): 57-71.

نص كامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل و چهارم، مهر و آبان 1402

شماره شاپا: X2588-588

 

 

 

 

توزیع وایبول-وایبول: برآورد پارامترها تحت سانسور فزایندۀ پیوندی سازوار نوع 2 و پیش­بینی واحدهای سانسور شده

 

 

علی­محمد بیرانوند۱، اکرم کهن­سال۲، رامین کاظمی۳¹، فرشین هرمزی­نژاد4

 

 

(۱و4) گروه ریاضی و آمار، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران

(۲و3) گروه آمار، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین­المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران

 

 

تاريخ ارسال مقاله: 25/06/1400   تاريخ پذيرش مقاله: 16/12/1400

چکيده

در این مقاله، یک توزیع آماری که آن را توزیع وایبول-وایبول (WW) می­نامیم، معرفی می­شود. به­طور معمول، تحت سانسور فزاینده پیوندی سازوار نوع 2، پارامترهای توزیع به روش­های کلاسیک و بیزی برآورد می­شوند. توزیع مجانبی پارامترها و بازه­های اطمینان مجانبی معرفی می­شوند. علاوه بر این، دو بازۀ اطمینان بوت­استرپ ارائه می­شوند. برآورد بیزی پارامترها با استفاده از الگوریتم زنجیر مارکوفی مونت کارلویی (MCMC) و روش لیندلی به دلیل عدم وجود فرم بسته تقریب زده می­شوند. علاوه بر این، بازۀ اطمینان باورمندی (HPD) پارامترها به­دست آمده است. سپس، با استفاده از چند روش، واحدهای سانسور شده پیش‌بینی می‌شوند. سرانجام، یک مجموعه داده واقعی تحلیل شده و برآوردهای مختلف پیشنهادی توسط مطالعات شبیه‌سازی مقایسه می­شوند.

 

واژه‌هاي کليدي: توزیع وایبول-وایبول، نمونۀ سانسور شده، برآورد، الگوریتم EM، الگوریتم MCMC، واحد سانسور شده. 

 

 

---

[1] . عهده­دار مکاتبات:       Email: [e-mail]

1 مقدمه

در میان طرح­های مختلف سانسور، طرح های نوع 1 و نوع 2 از اساسی­ترین آنها هستند. این طرح‌ها به‌ترتیب در یک زمانِ از پیش تعیین شده و در تعداد شکست از قبل انتخاب شده­، به پایان می­رسد. طرح سانسور پیوندی با آمیخته کردن طرح­های نوع 1 و نوع 2 به­دست می­آید [5] و آزمایش طول عمر را در زمان  به پایان
می­رساند، جایی­که  زمان -امین شکست در  آزمایش است و  یک زمان ثابت از پیش تعیین شده است. چون هیچ یک از طرح‌های فوق اجازه حذف واحدهای فعال را در طول آزمایش ندارند، طرح سانسور فزاینده معرفی می­شود. با ترکیب طرح‌های نوع 2 و فزاینده­، طرح سانسور فزاینده نوع 2 به­دست می­آید. همچنین، ترکیب طرح­های فزاینده و پیوندی منجر به طرح فزاینده پیوندی می‌شود. طرح فزایندۀ پیوندی نوع ۲ که توسط کاندو و چان [5] معرفی شد به­شرح زیر توصیف می‌شود. فرض کنید  واحد یکسان تحت طرح سانسور فزاینده  و نیز تحت زمان توقفی مانند زمان  در یک آزماش طول عمر وارد شوند جایی‌که  از یک طرح سانسور فزاینده و  مقدار ثابت از پیش تعیین شده‌ای است. بدیهی است که زمان توقف آزمایش برابر  می‌شود اگر  و یا برابر مقدار ثابت و از قبل تعیین شده  می‌شود اگر  باشد. در حالت اول تعداد شکست‌ها برابر  و در حالت دوم برابر  است. همان­طور که ملاحظه می‌شود در این طرح، اندازۀ نمونه تصادفی است احتمال رخداد تعداد کمی از واحدها بسیار محتمل است و بنابراین، در بسیاری از شرایط عملی، استنباط آماری امکان‌پذیر نیست. در نتیجه، یک طرح سانسور جدید توسط نگ و همکاران [15] معرفی شده است که به­عنوان طرح سانسور فزاینده پیوندی سازوار شناخته می‌شود. طرح سانسور فزایندۀ پیوندی سازوار نوع 2 (AT-II HPC) را می­توان به شرح زیر توصیف کرد: فرض کنید  یک نمونۀ سانسور فزاینده و  ثابت باشد. بدیهی است که زمان توقف آزمایش برابر  می‌شود اگر  و در این صورت یک نمونه سانسور فزاینده نوع 2 با طرح سانسور فزاینده  رخ می­دهد. در غیر این صورت اگر  به‌طوری‌که ، با قرار دادن

 

 

از زمان  تا  امین زمان شکست، هیچ واحدی از آزمایش خارج نمی‌شود. در ادامه، یک نمونه AT-II HPC با نماد  تحت طرح  نشان داده می­شود به گونه­ای که است. یکی از مهمترین مزایای این طرح، اطمینان از به­دست آوردن تعداد ثابت  واحد طول عمر در طول آزمایش است. جامع بودن این طرح، یکی دیگر از مزایای آن است به­طوری­که که اگر  و ، به‌ترتیب طرح‌های سانسور نوع 2 و سانسور فزاینده نوع 2 را می‌توان از آن استخراج کرد [2] . تابع توزیع تجمعی (cdf) و تابع چگالی احتمال (pdf) مدل وایبول دوپارامتری با پارامتر شکل  و پارامتر مقیاس به­ترتیب به‌صورت

 

 

 

است. نویسندگان بسیاری توزیع وایبول و ویژگی‌های آن را بررسی کرده‌اند [7و8و9و16و18و19و21و22].

 

 

شکل 1: نمودارهای pdf (چپ) و hrf (راست) از توزیع ww

 

 

بیشتر نسخه­های توسعه یافتۀ توزیع­ها برای یکی از اهداف زیر معرفی شده­اند: یافتن یک مدل جایگزین برای توزیع موجود که قبلاً با موفقیت مورد استفاده قرار گرفته است و یا پیدا کردن مدل آماری مناسبی برای توزیع تجربی داده‌ها که انعطاف پذیری بیشتری داشته باشد. احمد و همکاران [1] خانوادۀ جدیدی از توزیع­های تک­متغیره حاصل از متغیر تصادفی وایبول را معرفی کردند که به خانوادۀ جدید توزیع وایبول- Xمشهور است. توزیع وایبول- وایبول(WW)  یکی از دو زیرمدل خاص خانواده پیشنهادی است. گوییم متغیر تصادفی  دارای توزیع WW با پارامترهای ،  و  است و آن را با نماد  نشان می‌دهیم اگر تابع چگالی احتمال و توزیع توزیع تجمعی آن به­ترتیب به صورت زیر باشد:

 

شکل 1 نمودارهای pdf و تابع نرخ شکست (hrf) توزیع WW را برای مقادیر مختلف پارامترها نشان می­دهد. مشاهده می­شود که hrf تابعی افزایشی، ثابت و کاهشی برای مقادیر مختلف پارامترها است. از این­رو، می­توان از توزیع WW در تحلیل بسیاری از مجموعه داده‌های واقعی استفاده کرد. همچنین، وجود سه پارامتر در این توزیع باعث انعطاف­پذیری آن می­شود به­طوری­که می‌تواند از بسیاری از توزیع­های معروف دو یا چند پارامتری عملکرد بهتری داشته باشد.

این مقاله به­شرح زیر تنظیم شده است: در بخش 2، برخی از نمادها را توصیف می­کنیم که در بخش­های دیگر مقاله استفاده می­شوند. در بخش 3، برآورد نقطه­ای و فاصله­ای معرفی شده­اند. برآورد ماکسیمم درستنمایی (MLE) پارامترها با استفاده از روش نیوتن-رافسون (NR) و الگوریتم EM به­دست می­آیند. همچنین، توزیع مجانبی پارامترهای نامعلوم را ارائه می­دهیم و بازه­های اطمینان مجانبی را برای پارامترها به‌دست می­آوریم. چون ممکن است بازه­های اطمینان مجانبی در صورت کوچک بودن اندازه نمونه چندان عملکرد مناسبی نداشته نباشد، دو بازۀ اطمینان بوت استرپ یعنی Boot-t و Boot-p ارائه می­شوند. در بخش 4، برآورد بیزی پارامترها با استفاده از تقریب لیندلی و روش MCMC هنگامی که پارامترهای ،  و  دارای توزیع گامای مستقل هستند، ارائه می­شوند. بازۀ اطمینان باورمندی (HPD) برای پارامترهای نامعلوم در این بخش به­دست آمده است. در بخش 5، دو پیش‌بینی کننده واحدهای سانسور شده را ارائه می­دهیم. نتایج شبیه­سازی و تحلیل دادۀ واقعی در بخش 6 گزارش شده است. در پایان، مقاله را در بخش 7 نتیجه گیری می­کنیم.

 

2 نمادگذاری

در زیر بخش ۳.۳، از نمادگذاری زیر برای بیان مشتقات مرتبۀ دوم به­صورت کوتاه استفاده می‌کنیم:

(۱)
(۲)

 

همچنین، در زیر بخش ۴.۱، از نمادهای زیر استفاده می­کنیم:

 

3 استنباط کلاسیک

1.3 برآورد ماکسیمم درستنمایی

در این بخش، MLE پارامترهای نامعلوم ارائه شده است. فرض کنید  یک نمونۀ AT-II HPC از  تحت طرح  باشد. تابع درستنمایی پارامترها به­صورت

     

است که در آن

 

بر اساس داده­های مشاهده شده، با استفاده از معادلات (1) و (2)، تابع احتمال درستنمایی برابر با

 

است. بنابراین، تابع لگاریتم درستنمایی عبارت است از

(

 

بنابراین، برآوردگرهای ماکسیمم درستنمایی ،  و را می‌توان با حل معادلات زیر به­ترتیب برای ،  و را به‌دست آورد:

(۳)

 

2.3 الگوریتم EM

یک روش عددی مانند الگوریتم نیوتن-رافسون (NR) برای به‌دست آوردن ریشه­های سه معادلۀ غیرخطی بالا استفاده می‌شود. الگوریتم NR، که برای به­دست آوردن MLEs پارامترهای نامعلوم استفاده می­شود فقط برای مقدار اولیه مناسب همگراست.

چون، الگوریتم EM معرفی شده توسط دِمستر و همکاران [3] ابزاری بسیار قدرتمند برای حل یک مسئله با اطلاعات ناقص است و نیز باتوجه‌به اینکه نمونه AT-II HPC می‌تواند به عنوان یک مدل داده ناقص بررسی شود، لذا در این بخش، از الگوریتم EM را برای استخراج MLE پارامترهای نامعلوم استفاده می‌کنیم. فرض کنیم داده­های مشاهده شده توسط  و نیز  و  به ترتیب داده‌های سانسور شده در زمان  که  و  را نشان دهند، همچنین می‌توان قرار داد  که در آن  مجموعه داده‌های کامل را تشکیل می‌دهد. تابع درستنمایی داده‌های کامل به‌صورت

 

و بنابراین، لگاریتم تابع درستنمایی برابر است با

,

 

در مرحله E، مقادیر  را با  جایگزین می‌کنیم تا تابع شبه لگاریتم درستنمایی را محاسبه کنیم:

 

حال، قرار می‌دهیم:

 

بنابراین:

.

 

در مرحله M الگوریتم EM، هدف ماکسیمم کردن تابع  است. برای انجام این کار، مقادیر ، ،  و  را که در آن ،  و برآورد ،  و در مرحله -ام است، را در روابط زیر قرار می‌دهیم:

 

با استفاده از یک روش عددی مانند الگوریتمNR ، مقادیر ،  و  به عنوان ریشه های سه معادله غیرخطی فوق به دست می‌آید. روش تکرار در معادلات (4)، (5) و (6) را می توان در دستیابی به همگرایی، یعنی برقراری شرط

   

 

برای مقدار کوچک  خاتمه داد. این مقدار به صورت تصادفی انتخاب شده و تقریبا روی 05/0 کنترل می‌شود. همچنین، مقادیر MLE پارامترهای ،  و، بر اساس روش NR را می‌توان به عنوان مقادیر اولیه در این الگوریتم در نظر گرفت.

 

۳.۳ فاصله اطمینان مجانبی

در این بخش، با بدست آوردن توزیع مجانبی، می توان فواصل اطمینان مجانبی را بدست آورد. اگر قرار دهیم:

  

 

ماتریس اطلاع مشاهده شده باشد، از تابع لگاریتم درستنمایی در معادله (3)، داریم:

(۴)
(۵)
(۶)

 

قضیه 1

فرض کنید ،  و، برآوردهای ماکسیمم

درستنمایی ،  و باشند. بنابراین داریم:

 

که در آن  و  ماتریس‌های متقارن هستند و

 

که در آن

و

 

اثبات: طبق قضیه حد مرکزی چند متغیره و نرمال بودن برآوردگرهای ماکسیمم درستنمایی قضیه اثبات می‌شود.

بنابراین، اگر   صدک  ام از توزیع  باشد، بازه­های اطمینان مجانبی  برای ،  و را می توان به ترتیب به صورت زیر محاسبه کرد:

 

4.3 بازۀ اطمینان بوت استرپ

وقتی اندازه نمونه کم است، فواصل اطمینان مجانبی نمی‌توانند عملکرد خیلی خوبی داشته باشند. به همین دلیل، در بیشتر موارد، فواصل اطمینان بوت استرپ پیشنهاد می‌شود. در این بخش، دو فاصله اطمینان بوت استرپ Boot-p و Boot-t که به ترتیب توسط افرون [4] و هال [6] پیشنهاد شده‌اند، را بررس می‌کنیم.

 

روش  Boot-p

1.       نمونه­هایAT-II HPC   را تحت طرح سانسور  تولید کنید و  را محاسبه کنید.

2.       نمونه­هایAT-II HPC   را تحت طرح سانسور  از توزیع  تولید کنید و  را محاسبه کنید.

3.       مرحله 2 را به تعداد  بار تکرار کنید.

4.       قرار دهید:

(۷)

 

به ترتیب توابع توزیع تجمعی  ،  و باشند. حال برای مقادیر ،  و ، تعریف کنید:

فاصله اطمینان Boot-p  برای پارامترهای  و  را می‌توان به ترتیب زیر بدست آورد:

.

 

روش Boot-t

1.       نمونه­هایAT-II HPC   را تحت طرح سانسور  تولید کنید و  را محاسبه کنید.

2.       نمونه­هایAT-II HPC   را تحت طرح سانسور  از توزیع  تولید کنید و  را محاسبه کنید. با استفاده از آنچه در بخش ۳.۳ بیان شد، مقایر آماره‌های زیر را حساب کنید:

(۸)

3.       مرحله 2 را به تعداد  بار تکرار کنید.

4.       قرار دهید:

 

به ترتیب توابع توزیع تجمعی  ،  و باشند. حال برای مقادیر ،  و ، تعریف کنید:

---