فرض کنید S نشان دهنده مجموعه رئوس با رنگ سیاه (اولیه) گراف G باشد. قانون تغییر رنگ، رنگ یک رأس سفید را به سیاه تبدیل می کند اگر رأس سفید u تنها همسایه سفید رأس سیاه v باشد. مجموعه S یک مجموعه تحمیلی صفر G است هرگاه بعد از تعداد متناهی اعمال قانون تغییر رنگ، رنگ تمامی رئوس به سیاه تغییر کنند. تعداد اعضای یک مجموعه‌ی تحمیلی صفر با کمترین عضو را عدد تحمیلی صفر گراف می نامند.در این مقاله عدد تحمیلی صفر و ماکسیمم پوچی برخی گراف‌ها با ساختار مایسیلیسکی را بررسی می‌کنیم. به ویژه به ازای برخی گراف‌ها با این ساختار نشان می‌دهیم عدد تحمیلی صفر گراف با ماکسیمم پوچی آن برابر است. همچنین عدد تحمیلی صفر و ماکسیمم پوچی گراف‌ها‌ی مایسیلیسکی μ(K_n)، μ(C_n)و گراف‌های همبند با حداقل 4 رأس را محاسبه کرده‌ایم. تفاصيل المقالة

Let $G=(V, E)$ be a simple graph. A subset $S \subseteq V(G)$ is a \textit{dominating set} of $G$ if every vertex in $V(G) \setminus S$ is adjacent to at least one vertex in $S.$ The \textit{domination number} of graph $G,$ denoted by $\gamma(G),$ is the minimum size of a dominating set of vertices $V(G).$ Let $G_1$ and $G_2$ be two disjoint copies of graph $G$ and $f:V(G_1)\rightarrow V(G_2)$ be a function. Then a \textit{functigraph} $G$ with function $f$ is denoted by $C(G, f),$ its vertices and edges are $V(C(G, f))=V(G_1) \cup V(G_2)$ and $E(C(G, f))=E(G_1) \cup E(G_2) \cup \{vu| v \in V(G_1) , u \in V(G_2), f(v)=u\},$ respectively. In this paper, we investigate domination number of complements of functigraphs. We show that for any connected graph $G,$ $\gamma(\overline{C(G, f)}) \leq 3.$ Also we provide conditions for the function $f$ in some graphs such that $\gamma(\overline{C(G, f)})=3.$ Finally, we prove if $G$ is a bipartite graph or a connected $k-$ regular graph of order $n \geq 4$ for $k \in \{2, 3, 4 \}$ and $G \notin \{K_{3}, K_{4}, K_{5}, H_{1}, H_{2}\},$ then $\gamma(\overline{C(G, f)}) = 2.$ تفاصيل المقالة

‎Let $G$ be a graph with each vertex is colored either white or black‎. ‎A white vertex is changed to a black vertex when it is the only white neighbor of a black vertex (color-change rule)‎. ‎A zero forcing set $S$ of a graph $G$ is a subset of vertices $G$ with black vertices‎, ‎all other vertices $G$ are white‎, ‎such that after finitely many applications of the color-change rule all of vertices $G$ becomes black‎. ‎The zero forcing number of $G$ is the minimum cardinality of a zero forcing set in $G$‎, ‎denoted by $Z(G).$ In this paper‎, ‎we define $\ell-$Path graphs‎. ‎We give some $\ell-$Path and $\ell-$Ciclo graphs such that their maximum nullity are equal to their zero forcing number‎. ‎Also‎, ‎we obtain minimum propagation time and maximum propagation time for them‎. تفاصيل المقالة

Let $R$ be a non-commutative ring with unity. The commuting graph of $R$ denotedby $\Gamma(R)$, is a graph with vertex set $R\Z(R)$ and two vertices $a$ and $b$ are adjacent iff $ab=ba$.In this paper, we consider the commuting graph of non-commutative rings of order pq and $p^2q$with Z(R) = 0 and non-commutative rings with unity of order $p^3q$. It is proved that $C_R(a)$is a commutative ring for every $0\neq a \in R\Z(R)$. Also it is shown that if $a,b\in R\Z(R)$and $ab\neq ba$, then $C_R(a)\cap C_R(b)= Z(R)$. We show that the commuting graph $\Gamma(R)$ is thedisjoint union of $k$ copies of the complete graph and so is not a connected graph. تفاصيل المقالة