در این مقاله ابتدا با بیان برخی از خواص نگاشت­های یکنوای دلخواه ‎روی یک مجموعه توانی، نوع جدیدی از مفهوم مجموعه­های باز را ارائه می­کنیم. با تعمیمی از فضاهای بستاری در توپولوژی رسته­ای به معرفی فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته ‎و مفهوم پیوستگی تعمیم یافته می­پردازیم و با ساختارهای ضعیف و قوی برای فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته آشنا می­شویم. سپس با معرفی مفهوم نشاننده تعمیم یافته و انژکسیون تعمیم یافته به مطالعه حاصلضرب سازار فضاهای تعمیم یافته در رسته فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته ‎می­پردازیم. با استفاده از ابزارهای نظریه رسته­ها، نتایجی درباره رده­بندی فضاهای انژکتیو تعمیم یافته بیان می­کنیم که درآن این فضاها نسبت به نشاننده­های تعمیم یافته به عنوان درونبری­های تعمیم یافته حاصلضرب سازار با توپولوژی حاصلضربی از فضای دونقطه­ای سرپینسکی مشخص می­شوند. در پایان، فضاهای انژکتیو- چگال تعمیم یافته به عنوان اشیاء زیررسته خاصی از فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته که برای آن، همه زیر مجموعه­های تک نقطه­ای بسته هستند مطالعه می­شوند. Manuscript profile

‎For the subclasses $\mathcal{M}_1$ and $\mathcal{M}_2$ of‎‎monomorphisms in a concrete category $\mathcal{C}$‎, ‎if $\mathcal‎{M}_2\subseteq \mathcal{M}_1$‎, ‎then $\mathcal{M}_1$-injectivity‎‎implies $\mathcal{M}_2$-injectivity‎. ‎The Baer type criterion is about‎ ‎the converse of this fact‎. ‎In this paper‎, ‎we apply injectivity to the classes of $C$-dense‎, ‎$C$-closed‎ ‎monomorphisms‎. ‎The concept of quasi injectivity is also introduced here to‎ ‎investigte the Baer type criterion for these notions‎. Manuscript profile

In this paper we investigate generalized topologies generated by a subbase ofpreorder relators and consider its application in the concept of the complement. We introducethe notion of principal generalized topologies obtained from the new type of open sets andstudy some of their important properties. Manuscript profile